Phương trình logarit, bất phương trình logarit và bài tập áp dụng

Để có thể giải bất phương trình logarit và bất phương trình, bạn cần có kiến ​​thức về hàm logarit mà chúng ta đã ôn tập lần trước, nếu bạn chưa nhớ. Bạn có thể xem các thuộc tính của hàm logarit tại đây.

Bạn Đang Xem: Phương trình logarit, bất phương trình logarit và bài tập áp dụng

» Không thể bỏ qua: Bộ đề luyện thi vào THPT Chuyên Toán 12

I. Phương trình và phương trình logarit

1. Phương trình logarit cơ bản

+ Phương trình logax = b (0<a≠1) luôn có nghiệm duy nhất x = ab với mỗi b

2. Bất đẳng thức logarit cơ bản

+ Xét bất đẳng thức logax >B:

– nếu a>1 thì logax > b⇔x > ab

– nếu 0<a; b ⇔ 0 < x < ab

Hai. Phương pháp giải bất phương trình mũ logarit

1. Giải phương trình logarit, sử dụng phương pháp cơ bản giống như bất kỳ phương trình logarit nào

logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x)

logaf(x) = b ⇔ f(x) = ab

+ Lưu ý: Đối với pt logarit và bpt ta cần đặt điều kiện là biểu thức logaf(x) có nghĩa, tức là f(x) ≥ 0.

2. Giải phương trình và bài toán logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

+ Đối với phương trình, bất kỳ logarit nào có thể biểu thị bằng logaf(x) thì ta có thể sử dụng phép ẩn phụ t = logaf(x).

+ Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức logaf(x) biểu diễn f(x) >; 0, chúng ta cần chú ý đến đặc điểm của logarit pt và bpt đang xét (có chứa nghiệm không, có ẩn ở mẫu) thì ta phải Đặt điều kiện để các pt, bpt này có nghĩa.

3. Giải phương trình và sử dụng phương pháp mũ để tìm logarit thực

+ Đôi khi ta không giải được một phương trình, bất kể logarit về cùng cơ số hay dùng phép bấm phụ, khi đó ta có thể đặt x = tại pt, bpt cơ bản (phương pháp này gọi là lũy thừa)

+ định danh:Loại pt này thường chứa nhiều cơ số khác nhau

Hai. Bài tập về phương trình logarit và thực thể logarit

* Sử dụng cùng một phương pháp cơ bản để giải logarit của pt, bpt

Bài tập 1: Giải phương trình sau

a) log3(2x+1) = log35

b) log2(x+3) = log2(2×2-x-1)

Xem Thêm: C2H5OH O2 → CH3COOH H2O

c) log5(x-1) = 2

d) log2(x-5) + log2(x+2) = 3

* Giải pháp:

a) Đơn vị: 2x+1 > 0 ⇔ x>(-1/2)

pt ⇔ 2x+1 = 5 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2 (giao thức)

b) Đơn vị: x+3>0, 2×2 – x – 1 > 0 ta được: x>1 hoặc (-3)<x<(-1/2)

Ta có: log2(x+3) = log2(2×2-x-1) ⇔ x+3 = 2×2 – x – 1 ⇔ 2×2 – 2x – 4 = 0

⇔ x2 – x – 2 = 0 x = -1 (thỏa mãn) hoặc x = 2 (thỏa mãn)

Xem Thêm : Thì quá khứ hoàn thành – trọn bộ khái niệm, cấu trúc, bài tập

c) Đơn vị: x – 1 > 0 ⇔ x > 1

Ta có: log5(x-1) = 2 ⇔ x-1 = 52 ⇔ x = 26 (thoả)

d) Đơn vị: x-5 > 0 và x + 2 > 0 ta được: x > 5

Ta có: log2(x-5) + log2(x+2) = 3 ⇔ log2(x-5)(x+2) = 3 ⇔ (x-5)(x+2) = 23

p>

⇔ x2 – 3x -18 = 0 ⇔ x = -3 (loại) hoặc x = 6 (trận)

* Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

Bài tập 2: Giải phương trình sau

một)

hai)

c)

d)

e) 1 + log2(x-1) = log(x-1)4

* Giải pháp:

a) Địa chỉ: x>0

Ta đặt t=log3x rồi pt ⇔ t2 + 2t – 3 = 0 ⇔ t =1 hoặc t = -3

t = 1 log3x = 1 ⇔ x = 3

t = -3 ⇔ log3x = -3 ⇔ x = 3-3 = 1/27

b) 4log9x + logx3 – 3 = 0 Đánh dấu: 0<x≠1

pt 2log3x + 1/log3x -3 = 0

Xem Thêm: ViruSs &quotchuyện chưa kể&quot: Lớp 11 phải ngủ ở công viên liên tiếp 3 ngày vì biến cố gia đình, nhịn đói nhịn khát đến chảy máu mũi, 9 năm cô đơn ăn Tết một mình

Ta đặt t = log3x rồi pt ⇔ 2t + 1/t – 3 = 0 ⇔ 2t2 – 3t + 1 = 0 ⇔ t=1 hoặc t = 1/2

t = 1 log3x = 1 ⇔ x = 3 (thỏa mãn)

t = 1/2 ⇔ log3x = 1/2 ⇔ x = √3 (thỏa mãn)

c) Định nghĩa: log3x nghĩa là ⇔ x > 0

Mẫu số của phân số phải khác 0: (5+log3x)≠0 và (1 +log3x)≠0 ⇔ log3x ≠ -5 và log3x ≠ -1

Chúng tôi đặt t = log3x (t ≠ -1, t ≠ -5) và sau đó:

⇔ (1+t) +2(5+t)=(1+t)(5+t) ⇔ 3t + 11 = t2 + 6t + 5 ⇔ t2 + 3t – 6 = 0

⇔(Thiệu Đức Khả)

Thay t=log3x, ta có: x =3t1 và x =3t2

d) Địa chỉ: x>0

pt⇔

Đặt t=log2x ta được pt: t2 + t – 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -2

t = 1 x = 2

t = -2 x = 1/4

e) 1 + log2(x-1) = log(x-1)4

Mục: 0<(x-1)≠1 ⇔ 1<x≠2

Xem Thêm : Trời sinh ra trước nhất Chỉ toàn là trẻ con Trên trái đất trụi trần

Đặt t = log2(x-1) ta có pt: 1+t = 2/t ⇔ t2 + t – 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -2

t = 1 x-1 = 2 ⇔ x = 3

t = -2 ⇔ x-1 = 1/4 ⇔ x= 5/4.

* Giải phương trình logarit bằng phương pháp mũ

Bài tập 3: Giải phương trình sau:

a) ln(x+3) = -1 + 3

b) log2(5 – 2x) = 2 – x

* Giải pháp:

a) eq: x-3>0 ⇔ x>3 Trong điều kiện này, ta lũy thừa cả hai vế của pt đã cho để được pt:

Xem Thêm: Giải bài 32 33 34 35 36 37 38 trang 61 62 sgk Toán 9 tập 1

(giao thức)

b) log2(5 – 2x) = 2 – x

Đã đăng ký: 5 – 2x > 0 ⇔ 2x < 5

điểm

Đặt t=2x (t>0,t<5 do 2x<5) ta được: 5 – t = (4/t) ⇔ t2 – 5t + 4 = 0

t = 1 (đồng ý) hoặc t = 4 (đồng ý)

t = 1 x = 0

t = 4 x = 2

Bài tập 4: Giải các bất phương trình sau

a) log0,5(x+1) log2(2-x)

b) log2x – 13logx + 36 > 0

Giải pháp:

a) Đơn vị: x+1>0 và 2-x>0 ⇔ -1<x<2

log0,5(x+1) ≤ log2(2-x) ⇔ -log2(x+1) ≤ log2(2-x) ⇔ log2(2-x) + log2(x+1) ≥ 0

⇔ log2(2-x)(x+1) ≥ 0 ⇔ (2-x)(x+1) ≥ 1 ⇔ -x2 – x +1 ≥ 0 ⇔ ≤x≤

Kết hợp với điều kiện, nghiệm của bất phương trình là:

b) Địa chỉ: x>0

Đặt t = logx thì: t2 – 13t + 36 = 0 ⇔ t 9

với t <;4 ta có: logx <;4 ⇔ x < 104

Với t > 9 ta có: logx > 9 ⇔ x > 109

Điều kiện để bất phương trình tổ hợp có tập nghiệm:

Bài tập 5: Giải bất phương trình (Học sinh tự giải)

Một) 2

b) >8

c) 2

d) <0