Tích Phân Là Gì? Phương Pháp Tính Tích Phân Và Các Dạng Toán

1. Điểm là gì?

Tích phân là một khái niệm thường được sử dụng trong toán học lớp 12 và đối ứng của nó là phân thức. Họ có một vai trò quan trọng như là hai hoạt động cơ bản là chìa khóa cho lĩnh vực phân tích. Trong tiếng Hán và tiếng Việt, tích được hiểu là tích, phân được hiểu là từng phần nhỏ. Vậy ta có thể hiểu đơn giản tích phân là tổng của nhiều phần nhỏ. Trong toán học, tích phân được định nghĩa như sau:

Bạn Đang Xem: Tích Phân Là Gì? Phương Pháp Tính Tích Phân Và Các Dạng Toán

Vì hàm số f(x) liên tục trên khoảng xác định (kí hiệu: k) nên a, b là hai số thực bất kỳ thuộc k. Nếu f(x) là một nguyên hàm của f(x) thì hiệu của f(b) – f(a) được gọi là tích phân của f(x) trên khoảng (a,b). Từ đó, ta có kí hiệu sau:

Tích phân của f(x) từ a đến b được biểu diễn như sau: $\int_{a}^{b}f(x)dx$

Ta có: $\int_{a}^{b}f(x)dx=f(b)-f(a)$ (trong đó f(x) là nguyên hàm của f(x)))

Ở đó

• ∫: điểm

• dx: Biến tích hợp.

• f(x)dx: biểu thức dưới tích phân

  2. Tính chất của tích phân xác định

  Để nắm vững phương pháp tích phân giải toán, chúng ta cùng tìm hiểu một số tính chất của tích phân thường gặp nhé!

  (1) Tích phân của biến tại giá trị xác định bằng 0

  $\int_{a}^{a}f(x)=0$

  (2) lùi, đổi số

  $\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$

  (3) Các hằng số trong tích phân có thể lấy ngoài dấu tích phân

  $\int_{b}^{a}k \times f(x)dx=k\times\int_{a}^{b}f(x)dx$

  (4) Tổng các tích phân bằng tổng các tích phân

  $\int_{a}^{b}[f_{1}(x)\pm f_{2}(x)\pm…\pm f_{n}(x)]dx =\int_{a}^{b}f_{1}(x)dx\pm\int_{a}^{b}f_{2}(x)dx\pm…\pm int_{a}^{b}f_{n}(x)dx$

  Xem Thêm: Base Resources

  (5) Nhân đôi điểm

  $\forall \gamma \in [a,b]\rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{\gamma}f (x)dx+\int_{\gamma}^{b}f(x)dx$

  (6) So sánh giá trị tích phân

  • $f(x)\geq 0$ trong đoạn $[a,b]\rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx\geq 0$
  • $f(x)\geq g(x)$ in $[a,b] \rightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx\geq \int_{a } ^{b}g(x)dx$
  • $m\leq f(x)\leq m$ trên $[a,b]\rightarrow m(b-a)\leq \int_{a}^{b}f(x) dx leq m(b-a)$

  Ngoài ra còn một số tính chất tích phân xác định mà các em thường gặp trong các kỳ thi không nên bỏ qua:

  

  3. Bảng công thức tích phân cơ bản 12 học sinh phải thuộc lòng

  Xem Thêm : Giải Toán lớp 9 trang 24, 25, 26, 27 SGK Tập 1 (Chính xác nhất)

  Để làm được các dạng bài tập tích phân, bạn cần lưu và học thuộc ngay bảng công thức sau:

  

  4. Các phương pháp giải bài toán tích phân

  4.1. Tích hợp một phần

  Nếu u(x) là hàm có đạo hàm liên tục trên [a;b] thì ta có:

  $\int_{a}^{b}u(x)v'(x)dc=(u(x)v(x))\left|\begin{matrix}b\ a \end{Ma trận}\cặp. -\int_{a}^{b}v(x)u'(x)dx$

  hoặc $\int_{a}^{b}udv=uv\left|\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right. – \int_{b}^{a}vdu$

  Áp dụng công thức trên ta có quy tắc tính $\int_{a}^{b}f(x)dx$ theo phương pháp tích phân từng phần như sau:

  Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv = uv’dx, chọn một thành phần của f(x) là u(x) và phần còn lại là dv=v'(x)dx

  Bước 2: Tính du=u’dx và $u=\int dv=\int v'(x)dx$

  Bước 3: Tính $\int_{a}^{b}vdu = \int_{a}^{b}vu’dx$ và uv$\left|\begin{matrix}b \a\end{matrix}\right.$

  Bước 4: Áp dụng công thức $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}uvd=uv\left|\begin{matrix} b \\a\end{matrix}\right.-\int_{a}^{b}vdu$

  4.2. Giải quyết vấn đề tích hợp thông qua phân tích

  Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, công thức tương tự có thể được sử dụng để chuyển biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng, như sau:

  Ví dụ: tích phân $i= \int_{2}^{2}\frac{x^{2}-2x}{3}dx$

  Giải pháp:

  Xem Thêm: Hóa 10 Bài 6 Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều

  Ta có: $i=\int_{1}^{2}(\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}})dx=(ln\ trái | x \ phải |+\frac{2}{x})\left|\begin{matrix} 2\\1 \end{matrix}\right.=(ln2+1) -(ln1+2)=ln2-1$

  4.3. Phương pháp tích phân biến

  Với phương pháp biến đổi có 2 dạng, mỗi dạng là một phép tính khác nhau. Cụ thể là:

  Mẫu 1:

  Để tính tích phân: $i=\int_{a}^{b}g(x)dx$, chúng ta thực hiện các bước sau:

  Bước 1: Chọn một biến:

  • Phân tích g(x)dx=f[u(x)]u'(x)dx=f[u(x)]d[u(x)]
  • Cho u = u(x)

  Bước thứ hai: thực hiện biến đổi ranh giới

  • Với x=a thì u = u(a)
  • với x=b thì u=u(b)

  Bước 3: Sau đó, chúng ta có $\int_{a}^{b}g(x)dx=\int_{u^{(a)}}^{u^{b}}f(u ) du$

  Mẫu 2:

  Để tính tích phân: $i=\int_{a}^{b}f(x)dx$ có hàm f(x) liên tục trên [a;b], ta làm theo các bước sau:

  Bước 1: Chọn $x=\varphi (t)$, trong đó $\varphi (t)$ nằm trong tập xác định của f.

  Bước 2: Giả sử $\varphi ‘(t)$ là liên tục, vi phân dx = dx =$\varphi (t)dt$

  Xem Thêm : Bài thơ Hạt gạo làng ta

  Bước 3: Tại đây, bạn có thể chọn 1 trong 2 cách sau:

  – Cách 1: Tính ranh giới $\alpha$ và $\beta$ theo a và b tương ứng (điều kiện $a=\varphi (\alpha$ and $b=\varphi() beta )$) thì ta có: $i=\int_{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t).\varphi (t)dt$

  – Cách 2: Tính giá trị của tích phân xác định bằng cách xác định nguyên hàm (lúc này $\alpha$ phải là một ảnh đơn để biểu diễn kết quả của hàm t là một hàm của x)

  a) $i=\int_{1}^{1/2}f(x)dx$, tùy chọn ẩn phụ x=sint và $-\frac{\pi }{2} leq t\leq \frac{\pi }{2}$, chúng ta có thể sử dụng phương pháp 1, vì bây giờ với x=0, chúng ta có t=0, với $x=\frac{1}{2} $ chúng tôi với $t =\frac{\pi }{6}$

  b) $i=\int_{1}^{1/3}f(x)dx$, tùy chọn ẩn phụ x=sint và $-\frac{\pi }{2} leq t\leq \frac{\pi }{2}$, chúng ta có thể thực hiện ở phương pháp 2, vì lúc này $x=\frac{1}{3}$ sẽ không hiển thị góc đo được t.

  4.4. Khác biệt hóa

  Vi phân của hàm số y=f(x) được ký hiệu là dy và được cho bởi dy=df(x)=y’dx=f'(x)dx

  Xem Thêm: Đọc truyện Hồn Trương Ba, da hàng thịt | Kho tàng truyện cổ tích

  Một số công thức vi phân quan trọng cần nhớ:

  (1) $dx=\frac{1}{a}d(ax\pm b)=\frac{-1}{a}d(b\pm ax)$

  (2) $xdx=\frac{1}{2}d(x^{2}=\frac{1}{2a}d(ax^{2}\pm b)=- frac{1}{2a}d(b\pm ax^{2})$

  (3) $x^{2}dx=\frac{1}{3}d(x^{3}\pm b)=\frac{-1}{3a}d(b pm ax^{3})$

  (4) $sin x=-d(cosx)=\frac{-1}{a}d(a cos x\pm b)$

  (5) $cos xdx=d(sinx)=\frac{1}{a}d(asin x\pm b)$

  (6) $\frac{dx}{cos^{2}x}=d(tanx)=\frac{1}{a}d(tan x\pm b)$

  (7) $\frac{dx}{sin^{2}x}=-d(cotx)=\frac{-1}{a}d(acotx\pm b)$

  (8) $\frac{dx}{2\sqrt{x}}=d(\sqrt{x})=\frac{1}{a}d(a\sqrt{x ) }\pm b)=\frac{-1}{a}d(b\pm a\sqrt{x})$

  (9) $e^{x}dx=d(e^{x})=\frac{1}{a}d(ae^{x}\pm b)=\frac{- 1}{a}d(b\pm ae^{x})$

  (10) $\frac{dx}{x}=d(lnx)=\frac{1}{ad(alnx\pm b)}=\frac{-1}{a}d (b\pm alnx)$

  >>Xem thêm:

  • Các dạng cơ bản và bài tập điểm thế năng
  • Cách kết hợp lượng giác với chi tiết và bài tập

  5. Tổ hợp các phương pháp cho bài tập nâng cao

  Khi bạn quen với việc giải các bài toán tích phân, đây là một số ví dụ:

  

  

  Để ôn tập các bài về tích phân, các em hãy cùng thầy Thành Đức Trung ôn tập và luyện tập tích phân nhé! Trong video này thầy Trung sẽ có nhiều giải pháp hay để phân tích nhanh ánh sáng phân cực của máy ảnh Casio.

  Trên đây là toàn bộ công thức và các dạng câu hỏi tích phân thường gặp. Tuy nhiên, nếu muốn đạt điểm cao, hãy ôn thật nhiều công thức toán 12 và làm các dạng câu hỏi khác. Các bạn có thể truy cập vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện đề nhé! Chúc các em đạt kết quả tốt nhất trong kỳ thi vào THPT sắp tới.

  >>Xem thêm:

  • Bài tập và phương pháp giải phương trình logarit đầy đủ, chi tiết
  • Lý thuyết phương trình logarit cơ bản
  • Công thức một số nguyên hàm và cách giải bài tập
  • Tính toán nguyên hàm tanx bằng các công thức tuyệt vời
  • Tính toán theo bộ phận: Phép tính, ví dụ và bài tập minh họa