Toán 10 Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Toán 10 Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Video Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Dạng toán 1: Giải phương trình bậc hai hai ẩn, ba

Giải pháp

Bạn Đang Xem: Toán 10 Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Sử dụng phép cộng, phép thế, định thức đại số.

Ví dụ 1:

Giải hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}5x – 4y = 3\\7x – 9y = 8\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 11\\5x – 4y = 8\end{array} \right.\)

Mô tả:

a) Ta có \(d = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ – 4}\\7&{ – 9}\ end{array}} \right| = – 17\), \({d_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{- 4} \8&{ – 9}\end{array}} \right| = 5,\,\,{d_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{ c}}5&3\\7&8\end{array}} \right| = 19\)

Suy ra nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{{d_x}}}{d};\frac {{{ d_y }}}{d}} \right) = \left( { – \frac{5}{{17}}; – \frac{{19}}{{17}}} right) )

b) Ta có \(d = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\5&{ – 4}\end{array }} \right| = – 13\), \({d_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{11}&1\\ 8&{ – 4}\end{array}} \right| = – 52,\,\,{d_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }2&{11}\\5&8\end{array}} \right| = – 39\)

Suy ra nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{{d_x}}}{d};\frac {{{ d_y }}}{d}} \right) = \left( {4;3​​} \right)\)

Ví dụ 2:

Giải hệ phương trình sau:

Xem Thêm: Cảm nhận khổ 2 của bài thơ Nói với con (Y Phương)

a) \(\left\{ \begin{array}{l}(x + 3)y – 5) = xy\\(x – 2)(y + 5) = xy \end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x – y} \right| = \sqrt 2 \\2x – y = – 1\end{array} \right.\)

Xem Thêm : Đặt tên con trai 2022 họ Phạm hay và hợp phong thủy

c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3(x + y)}}{{x – y}} = – 7\\ \frac{{5x – y}}{{y – x}} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Mô tả:

a) tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}xy – 5x + 3y – 15 = xy\\xy + 5x – 2y – 10 = xy \ kết thúc{mảng} \right.\)

\( \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 5x + 3y = 15}\\{5x – 2y = 10} \end{array}} \right \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 25}\\{5x – 2y = 10 }\end{array}} \right \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 12}\\{y = 25} \end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {12;25} \right)\)

b) Tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}x – y = \pm \sqrt 2 \\2x – y = – 1 end { mảng} \right.\)

\( \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – y = \sqrt 2 \\2x – y = – 1\end{array} \ Đúng.\) (1) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x – y = – \sqrt 2 \\2x – y = – 1\end{ mảng} \right.\) (2)

Ta có \(\left( 1 \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 1 – \sqrt 2 \\2x – y = – 1\end{array} \right \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1 – \sqrt 2 } \{y = – 1 – 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

\(\left( 2 \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + \sqrt 2 \\2x – y = – 1\end{array} \right \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1 – \sqrt 2 }\ {y = – 1 + 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

Xem Thêm: Bài nghị luận xã hội về vấn đề ô nhiễm môi trường siêu hay

Vậy hệ phương trình có nghiệm\(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( { – 1 – \sqrt 2 ; – 1 – 2 sqrt 2 } \right)\) và \(\left( { – 1 – \sqrt 2 ; – 1 + 2\sqrt 2 } \right)\)

c) Định nghĩa: \(x \ne y\)

Tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}3(x + y) = – 7\left({x – y} \right) \ 3 \left( {5x – y} \right) = 5\left( {y – x} \right)\end{array} \right.\)

\( \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10x – 4y = 0}\\{20x – 8y = 0} end{array}} \right \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0} end{array}} \right.\) (không hài lòng)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Dạng toán 2: Giải và thảo luận về phương trình bậc hai hai ẩn

Giải pháp thay thế:

Xem Thêm : Những Cách Tạo Dáng Chụp Ảnh Áo Dài Kỷ Yếu Đẹp

Sử dụng định thức: tính \(d,\,{d_x},\,{d_y}\)

\( \bullet \) Nếu \(d \ne 0\) thì hệ có nghiệm duy nhất\(\left( {x;y} \right) = \ trái( {\frac{{{d_x}}}{d};\frac{{{d_y}}}{d}} \right)\)

\( \bullet \) nếu \(d = 0\) thì xét \({d_x},\,{d_y}\)

Với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{d_x} \ne 0}\\{{d_y} \ne 0} end{array}} \right.\) thì phương trình vô nghiệm

Xem Thêm: Cảm nhận đoạn thơ Thuyền ta lái gió với buồm trăng… – HOC247

với \({d_x} = {d_y} = 0\) Khi đó hệ phương trình có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ phương trình chính là tập nghiệm của một trong hai phương trình.

Ví dụ:

Giải và chứng minh hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx – y = 2m\\4x – my = m + 6\end{array } Có.\)

Mô tả:

Ta có \(d = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ – 1}\\4&{ – m}\end{ mảng}} \right| = 4 – {m^2} = \left( {2 – m} \right)\left( {2 + m} \right)\)

\({d_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m}&{ – 1}\\{m + 6}& { – m}\end{array}} \right| = – 2{m^2} + m + 6 = \left( {2 – m} \right)\left( {2m + 3} \right)\) \({d_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{2m}\\4&{m + 6} \end{array}} \right| = {m^2} – 2m = m\left( {m – 2} \right)\)

  • Với \({\rm{d}} \ne 0 \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m ne 2}\\{m \ne – 2}\end{array}} \right.\): hệ phương trình\(\left( {x;y} right) = \left( {\frac{{{d_x}}}{d};\frac{{{d_y}}}{d}} \right) = \left( {\frac {{2m + 3}}{{2 + m}}; – \frac{m}{{2m + 1}}} \right)\)
  • Sử dụng \({\rm{d = }}0 \leftrightarrow m = \pm 2\):
  • + Khi \(m = 2\) ta có \({\rm{d}} = {d_x} = {d_y} = 0\) nên hệ phương trình có nghiệm ( 2x – y = 4 \leftrightarrow y = 2x – 4\). Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left({x;y}\right) = \left({t;2t – 4}\right),\,\,t \ in r \).

    + Khi \(m = – 2\) ta có \(d = 0,\,{d_x} \ne 0\) nên hệ phương trình vô nghiệm

    Kết luận

    Hệ phương trình \(m \ne 2\) và \(m \ne – 2\) có nghiệm duy nhất\(\left( {x;y} \right ) = \left( {\frac{{2m + 3}}{{2 + m}}; – \frac{m}{{2m + 1}}} \right)\)

    Nghiệm của \(m = 2\) hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {t;2t – 4} \right ) , \,\,t \in r\).

    \(m = – 2\) hệ phương trình vô giải

Nguồn: https://anhvufood.vn
Danh mục: Giáo Dục