Toán 10 Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Toán 10 Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Video Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Dạng toán 1: Giải phương trình bậc hai hai ẩn, ba

Giải pháp

Bạn Đang Xem: Toán 10 Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Sử dụng phép cộng, phép thế, định thức đại số.

Ví dụ 1:

Giải hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}5x – 4y = 3\\7x – 9y = 8\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 11\\5x – 4y = 8\end{array} \right.\)

Mô tả:

a) Ta có \(d = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ – 4}\\7&{ – 9}\ end{array}} \right| = – 17\), \({d_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{- 4} \8&{ – 9}\end{array}} \right| = 5,\,\,{d_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{ c}}5&3\\7&8\end{array}} \right| = 19\)

Suy ra nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{{d_x}}}{d};\frac {{{ d_y }}}{d}} \right) = \left( { – \frac{5}{{17}}; – \frac{{19}}{{17}}} right) )

b) Ta có \(d = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\5&{ – 4}\end{array }} \right| = – 13\), \({d_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{11}&1\\ 8&{ – 4}\end{array}} \right| = – 52,\,\,{d_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c} }2&{11}\\5&8\end{array}} \right| = – 39\)

Suy ra nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{{d_x}}}{d};\frac {{{ d_y }}}{d}} \right) = \left( {4;3​​} \right)\)

Ví dụ 2:

Giải hệ phương trình sau:

Xem Thêm: Soạn bài Quá trình tạo lập văn bản – Áo kiểu đẹp

a) \(\left\{ \begin{array}{l}(x + 3)y – 5) = xy\\(x – 2)(y + 5) = xy \end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x – y} \right| = \sqrt 2 \\2x – y = – 1\end{array} \right.\)

Xem Thêm : Bài văn kể về món quà sinh nhật mà em thích nhất

c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3(x + y)}}{{x – y}} = – 7\\ \frac{{5x – y}}{{y – x}} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Mô tả:

a) tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}xy – 5x + 3y – 15 = xy\\xy + 5x – 2y – 10 = xy \ kết thúc{mảng} \right.\)

\( \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 5x + 3y = 15}\\{5x – 2y = 10} \end{array}} \right \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 25}\\{5x – 2y = 10 }\end{array}} \right \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 12}\\{y = 25} \end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {12;25} \right)\)

b) Tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}x – y = \pm \sqrt 2 \\2x – y = – 1 end { mảng} \right.\)

\( \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – y = \sqrt 2 \\2x – y = – 1\end{array} \ Đúng.\) (1) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x – y = – \sqrt 2 \\2x – y = – 1\end{ mảng} \right.\) (2)

Ta có \(\left( 1 \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 1 – \sqrt 2 \\2x – y = – 1\end{array} \right \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1 – \sqrt 2 } \{y = – 1 – 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

\(\left( 2 \right) \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + \sqrt 2 \\2x – y = – 1\end{array} \right \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1 – \sqrt 2 }\ {y = – 1 + 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

Xem Thêm: Đặc Điểm Thơ Năm Chữ

Vậy hệ phương trình có nghiệm\(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( { – 1 – \sqrt 2 ; – 1 – 2 sqrt 2 } \right)\) và \(\left( { – 1 – \sqrt 2 ; – 1 + 2\sqrt 2 } \right)\)

c) Định nghĩa: \(x \ne y\)

Tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}3(x + y) = – 7\left({x – y} \right) \ 3 \left( {5x – y} \right) = 5\left( {y – x} \right)\end{array} \right.\)

\( \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10x – 4y = 0}\\{20x – 8y = 0} end{array}} \right \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0} end{array}} \right.\) (không hài lòng)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Dạng toán 2: Giải và thảo luận về phương trình bậc hai hai ẩn

Giải pháp thay thế:

Xem Thêm : Bài thơ Cảm nghĩ trong đêm thanh tĩnh Tĩnh dạ tứ, Lý Bạch

Sử dụng định thức: tính \(d,\,{d_x},\,{d_y}\)

\( \bullet \) Nếu \(d \ne 0\) thì hệ có nghiệm duy nhất\(\left( {x;y} \right) = \ trái( {\frac{{{d_x}}}{d};\frac{{{d_y}}}{d}} \right)\)

\( \bullet \) nếu \(d = 0\) thì xét \({d_x},\,{d_y}\)

Với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{d_x} \ne 0}\\{{d_y} \ne 0} end{array}} \right.\) thì phương trình vô nghiệm

Xem Thêm: Hướng dẫn xưng tội dành cho tín hữu Công Giáo đầy đủ nhất

với \({d_x} = {d_y} = 0\) Khi đó hệ phương trình có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ phương trình chính là tập nghiệm của một trong hai phương trình.

Ví dụ:

Giải và chứng minh hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx – y = 2m\\4x – my = m + 6\end{array } Có.\)

Mô tả:

Ta có \(d = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ – 1}\\4&{ – m}\end{ mảng}} \right| = 4 – {m^2} = \left( {2 – m} \right)\left( {2 + m} \right)\)

\({d_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m}&{ – 1}\\{m + 6}& { – m}\end{array}} \right| = – 2{m^2} + m + 6 = \left( {2 – m} \right)\left( {2m + 3} \right)\) \({d_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{2m}\\4&{m + 6} \end{array}} \right| = {m^2} – 2m = m\left( {m – 2} \right)\)

  • Với \({\rm{d}} \ne 0 \leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m ne 2}\\{m \ne – 2}\end{array}} \right.\): hệ phương trình\(\left( {x;y} right) = \left( {\frac{{{d_x}}}{d};\frac{{{d_y}}}{d}} \right) = \left( {\frac {{2m + 3}}{{2 + m}}; – \frac{m}{{2m + 1}}} \right)\)
  • Sử dụng \({\rm{d = }}0 \leftrightarrow m = \pm 2\):
  • + Khi \(m = 2\) ta có \({\rm{d}} = {d_x} = {d_y} = 0\) nên hệ phương trình có nghiệm ( 2x – y = 4 \leftrightarrow y = 2x – 4\). Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left({x;y}\right) = \left({t;2t – 4}\right),\,\,t \ in r \).

    + Khi \(m = – 2\) ta có \(d = 0,\,{d_x} \ne 0\) nên hệ phương trình vô nghiệm

    Kết luận

    Hệ phương trình \(m \ne 2\) và \(m \ne – 2\) có nghiệm duy nhất\(\left( {x;y} \right ) = \left( {\frac{{2m + 3}}{{2 + m}}; – \frac{m}{{2m + 1}}} \right)\)

    Nghiệm của \(m = 2\) hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( {t;2t – 4} \right ) , \,\,t \in r\).

    \(m = – 2\) hệ phương trình vô giải

Nguồn: https://anhvufood.vn
Danh mục: Giáo Dục