Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình

Định lý Witter là một trong những kiến ​​thức quan trọng trong chương trình môn toán cấp THCS. Đây là câu hỏi thường xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi, kì thi tuyển sinh lớp 10 nên hôm nay Ant Guru xin giới thiệu đến bạn đọc một số ứng dụng quan trọng của định lí này. Bài viết không chỉ tổng hợp lý thuyết mà còn đưa ra các ví dụ minh họa rõ ràng, chi tiết giúp mọi người nắm vững và thành thạo ứng dụng hệ thống việt trong việc khắc phục các bài toán khó. Hãy cùng khám phá nhé:

Bạn Đang Xem: Định Lý Viet Và Ứng Dụng Trong Phương Trình

Tôi. Định lý Việt Nam – lý thuyết quan trọng.

Định lý viet, hay quan hệ viet, chỉ ra mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức do nhà toán học người Pháp François viète khám phá.

1.Định lý Việt Nam.

Cho phương trình bậc hai một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) (*) Có 2 nghiệm là x1 và x2. Khi đó hai nghiệm thỏa mãn mối quan hệ sau:

Kết luận: Theo quan hệ thức khi phương trình bậc hai có nghiệm thì trong một số trường hợp đặc biệt ta có thể tính trực tiếp nghiệm của phương trình:

• Nếu a+b+c=0 thì (*) có 1 nghiệm là x1=1 và x2=c/a
• Nếu a-b+c=0 thì (*) có nghiệm x1=-1 và x2=-c/a

2.Định lý Đảo Việt Nam.

Giả sử hai số thực x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:



Khi đó x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai 2: x2-sx+p=0 (1)

Lưu ý: Điều kiện s2-4p≥0 là bắt buộc. Đây là điều kiện để Δ(1)≥0, tức là điều kiện để tồn tại phương trình bậc hai.

Để nắm vững các công thức toán học và cách áp dụng chúng vào toán học một cách dễ dàng, hãy đạt điểm 8 trở lên. Nhấp vào đây để tìm hiểu thêm về khóa học này: Đột phá môn Toán lớp 10 8+. Đồng hành cùng các em làcác thầy côđã có hơn 6 năm kinh nghiệm giảng dạy và luyện thi đại học. Đặc biệt nếu bạn đăng ký ngay hôm nay, Ant House sẽ giảm 73% học phí cho bạn!

Hai. Các dạng bài tập vận dụng Định lý Việt Nam.

1. Khi biết tổng và tích, hãy áp dụng hệ thức viet để tìm hai số.

Phương pháp:

Nếu hai số u và v thỏa mãn:



Khi đó u, v sẽ là 2 nghiệm của phương trình: x2-sx+p=0.

Như vậy, để xác định hai số u và v sẽ trở lại bài toán giải phương trình bậc hai một ẩn số:

• Nếu s2-4p≥0 thì tồn tại u,v.
• Nếu s2-4p<0 thì không có chữ số nào khớp.

Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chu vi là 6a và diện tích là 2a2. Tìm độ dài hai cạnh.

Xem Thêm: Bảng đơn vị đo thời gian và mẹo quy đổi đơn vị thời gian dễ nhất

Mô tả:

Gọi x1, x2 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Theo đề ta có:



Suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2-3ax+2a2=0.

Giải phương trình trên để được x1=2a, x2=a (do x1>x2)

Vậy hình chữ nhật có chiều dài 2a và chiều rộng a.

Ví dụ 2: Tìm hai số x1, x2 thỏa mãn (x1>x2)



Xem Thêm: Bảng đơn vị đo thời gian và mẹo quy đổi đơn vị thời gian dễ nhất

Mô tả:

Chúng ta cần chuyển hệ đã cho về dạng tổng tích quen thuộc:



• Trường hợp 1:



Suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc hai 2: x2-5x+6=0. Giải để tìm x1=3, x2=2

• Trường hợp 2:



Suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc hai 2: x2+5x+6=0. Tìm x1=-2, x2=-3.

Xem Thêm : Thạch Sanh – Kho Tàng Truyện Cổ Tích Chọn Lọc

Ví dụ 3: Giải phương trình:



Xem Thêm: Bảng đơn vị đo thời gian và mẹo quy đổi đơn vị thời gian dễ nhất

Mô tả:

Điều kiện: x≠-1

Chú ý nếu rút bớt mẫu số ta sẽ được một phương trình đa thức, tuy nhiên bậc của phương trình này khá lớn. Thật khó để tìm hướng trong hình thức này.

Vì vậy, ta có thể nghĩ đến việc đặt ẩn số phụ để bài toán dễ giải hơn.

Chúng tôi đặt:



Sau đó nhấn chủ đề: uv=6.

Ta có:



Suy ra u, v là nghiệm của phương trình bậc hai 2: t2-5t+6=0.

Giải phương trình trên:



• Trường hợp 1: u=3, v=2. Khi đó ta được phương trình: x2-2x+3=0 (vô nghiệm)
• Trường hợp 2: u=2, v=3. Rồi được phương trình x2-3x+2=0, suy ra x1=1, x2=2 (thoả mãn điều kiện x≠-1)

2. Áp dụng định lý Vi-ét để đánh giá một biểu thức đối xứng.

Phương pháp:

Hoán đổi vị trí của x1 và x2 để được biểu thức đối xứng với x1 và x2 mà giá trị của biểu thức không đổi:



• Nếu f là một biểu thức đối xứng thì luôn tồn tại một biểu diễn trên biểu thức đối xứng s=x1+x2, p=x1x2
• Một số cách diễn đạt quen thuộc:
• Áp dụng quan hệ việt ta đánh giá được biểu thức cần tìm.

Xem Thêm: Tag Archives: Mệnh Thổ

Ví dụ 4: Cho phương trình bậc hai một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) có 2 nghiệm x1, x2. gọi:



Hãy chứng minh:



Xem Thêm: Bảng đơn vị đo thời gian và mẹo quy đổi đơn vị thời gian dễ nhất

Mô tả:



Ví dụ 5: Phương trình x2+5x+2=0. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. Giá trị tính toán:

Xem Thêm: Bảng đơn vị đo thời gian và mẹo quy đổi đơn vị thời gian dễ nhất

Mô tả:

Phương pháp 1:

Chúng tôi biến đổi:



Một lần nữa:



Thay vào ta được s.

Phương pháp 2:

Xem Thêm : Top 8 mẫu cảm nhận bài thơ Việt Bắc hay chọn lọc

Lúc này chúng ta có thể sử dụng ví dụ 4 để tính, lưu ý:



Ta có: s=s7.

Vậy ta lần lượt tính s1,s2,..,s6. Sau đó lấy giá trị của s7.

3.Áp dụng định lý Viet vào bài toán tham số.

Đối với bài toán tham số, điều kiện tiên quyết là phải xét trường hợp phương trình có nghiệm. Sau đó áp dụng định lý Vi-ét vào phương trình bậc hai, nhận được hệ thức giữa hai nghiệm x1 và x2 theo tham số, kết hợp dữ liệu bài toán để tìm ra đáp số.

Ví dụ 5: Phương trình mx2-2(3-m)x+m-4=0 (*) (tham số m)

Vui lòng chỉ định giá trị của tham số là:

1. Chính xác 1 gốc âm.
2. Có 2 nghiệm trái dấu.

Xem Thêm: Bảng đơn vị đo thời gian và mẹo quy đổi đơn vị thời gian dễ nhất

Mô tả:

Ghi nhớ kiến ​​thức:

Xem Thêm: Các dạng phương trình đường thẳng (hay và chi tiết)

Đặc biệt, do hệ số a có chứa tham số nên chúng ta cần xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: a=0⇔m=0

Khi đó (*)⇔-6x-4=0⇔x=-⅔. Đây là giải pháp tiêu cực duy nhất.

Trường hợp 2: a≠0⇔m≠0

Bây giờ, điều kiện là:



Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị m thỏa mãn phương trình bậc hai sau:



Tồn tại nghiệm x1, x2 sao cho:



Xem Thêm: Bảng đơn vị đo thời gian và mẹo quy đổi đơn vị thời gian dễ nhất

Mô tả:

Điều kiện để tồn tại 2 nghiệm khác nhau:



Sau đó, dựa trên mối quan hệ với Việt Nam:

Hai nghiệm phân biệt này phải khác không (để phương trình đã cho thỏa mãn), ta được:

(2)

Nếu không, theo chủ đề:



Trường hợp 1:



Trường hợp hai:



Cộng hai điều kiện (1) và (2) suy ra m=1 hoặc m=5 thỏa yêu cầu đề bài.

Trên đây là phần tóm tắt Định lý Việt Nam của Master Ant. Hi vọng qua bài viết này các em sẽ củng cố và rèn luyện óc giải toán của mình. Sẽ có nhiều cách tiếp cận khác nhau cho mỗi vấn đề, vì vậy hãy thoải mái áp dụng những gì bạn học được một cách sáng tạo, nó sẽ giúp ích cho bạn rất nhiều sau này. Ngoài ra, bạn có thể tham khảo các bài viết khác trên trang Ant Master để cập nhật kiến ​​thức của mình. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!