Giải toán VNEN 9 bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

A. Sự kiện bắt đầu

Đọc trang 26 SGK Toán 9

Bạn Đang Xem: Giải toán VNEN 9 bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

b.Hoạt động tiếp thu kiến ​​thức

1. a) Đọc hiểu nội dung

• Để rút gọn một biểu thức có chứa căn bậc hai, ta cần biết cách sử dụng đúng các phép toán, phép biến đổi đã biết, chẳng hạn: đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào dấu căn, sẽ chứa dấu căn căn Biểu thức của được khử căn để tạo ra căn bậc hai của căn bậc hai (căn tương tự).

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau:

a) $\sqrt{\frac{3}{4}}$ + $\sqrt{\frac{1}{3}}$ + $\sqrt{\frac{1} {12}}$;

b) $\frac{10}{9}$($\sqrt{0,8}$ + $\sqrt{1,25}$) ;

c) 4$\sqrt{\frac{2}{9}}$ + $\sqrt{2}$ + $\sqrt{\frac{1}{18}}$ ;

d) $\frac{1}{\sqrt{5} – 1}$ – $\frac{1}{\sqrt{5} + 1}$.

Trả lời:

a) $\sqrt{\frac{3}{4}}$ + $\sqrt{\frac{1}{3}}$ + $\sqrt {\frac{1}{12}}$ = $\sqrt{\frac{9}{12}}$ + $\sqrt{\frac{4}{12}}$ + $\ sqrt{\frac{1}{12}}$ = $\frac{3}{\sqrt{12}}$ + $\frac{2}{\sqrt{12}}$ + $ frac{1}{\sqrt{12}}$ = $\frac{6}{\sqrt{12}}$ = $\frac{6\sqrt{12}}{12}$.

b) $\frac{10}{9}$($\sqrt{0.8}$ + $\sqrt{1,25}$) = $\frac{ 10}{9}$($\sqrt{\frac{4}{5}}$ + $\sqrt{\frac{5}{4}}$) = $\frac{10 }{ 9}$($\sqrt{\frac{16}{20}}$ + $\sqrt{\frac{25}{20}}$) = $\frac{10}{9 }$ ($\frac{4}{\sqrt{20}}$+ $\frac{5}{\sqrt{20}}$) = $\frac{10}{9}$. $ frac{9}{\sqrt{20}}$ = $\frac{10}{\sqrt{20}}$ = $\sqrt{5}$

c) 4$\sqrt{\frac{2}{9}}$ + $\sqrt{2}$ + $\sqrt{\frac{1} {18}}$ = 4$\sqrt{\frac{4}{18}}$ + $\sqrt{\frac{36}{18}}$ + $\sqrt{\frac{ 1}{18}}$ = $\frac{8}{\sqrt{18}}$ + $\frac{6}{\sqrt{18}}$ + $\frac{1}{ \sqrt{18}}$ = $\frac{15}{\sqrt{18}}$ = $\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.

d) $\frac{1}{\sqrt{5} – 1}$ – $\frac{1}{\sqrt{5} + 1}$ = $\frac{\sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} – 1)(\sqrt{5} + 1)}$ – $\frac{\sqrt{5} – 1}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} – 1)}$ = $\frac{\sqrt{5} + 1 – \sqrt{5} + 1}{ (\sqrt{5} – 1)(\sqrt{5} + 1)}$ = $\frac{2}{5 – 1}$ = $\frac{1}{2}$.

Xem Thêm: Ý nghĩa hình xăm Geisha Nhật Bản, 49 mẫu cô gái cầm ô đẹp

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau:

a) 6$\sqrt{a}$ + $\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{a}{4}}$ – a$\sqrt{ frac{9}{a}}$ + $\sqrt{7}$ và > 0 ;

b) 11$\sqrt{5a}$ – $\sqrt{125a}$ + $\sqrt{20a}$ – 4$\sqrt{45a}$ + 9$\sqrt{a }$;

Xem Thêm : Thuyết minh về lễ hội đua thuyền | Văn mẫu 9 hay nhất

c) 5a$\sqrt{25ab^{3}}$ – $\sqrt{3}$$\sqrt{12a^{3}b^{3}}$ + 9ab$\sqrt {9ab}$ – 5b$\sqrt{81a^{3}b}$ với b $\geq $0, a $\geq $0 ;

d) $\sqrt{\frac{a}{b}}$ + $\sqrt{ab}$ – $\frac{a}{b}$$\frac{b}{ a}$ và > 0, b > 0.

Trả lời:

a) 6$\sqrt{a}$ + $\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{a}{4}}$ – $\sqrt{\frac{9}{a}}$ + $\sqrt{7}$ = 6$\sqrt{a}$ + $\frac{2}{3}$$ frac{\sqrt{a}}{2}$ – a$\sqrt{\frac{9a}{a^{2}}}$ + $\sqrt{7}$ = 6$\ sqrt {a}$ + $\frac{\sqrt{a}}{3}$ – 3$\sqrt{a}$ + $\sqrt{7}$ = $\frac{10}{ 3 }$$\sqrt{a}$ + $\sqrt{7}$

b) 11$\sqrt{5a}$ – $\sqrt{125a}$ + $\sqrt{20a}$ – 4$\sqrt{45a}$ + 9$\sqrt{a}$ = 11$\sqrt{5a}$ – 5$\sqrt{5a}$ + 2$\sqrt{5a}$ – 12$\sqrt{5a}$ + 9$\sqrt{a}$ = – 4$\sqrt{5a}$ + 9$\sqrt{a}$ = (9 – 4$\sqrt{5}$)$\sqrt{a }$.

c) 5a$\sqrt{25ab^{3}}$ – $\sqrt{3}$$\sqrt{12a^{3}b^{3}} $ + 9ab$\sqrt{9ab}$ – 5b$\sqrt{81a^{3}b}$ = 25ab$\sqrt{ab}$ – 6ab$\sqrt{ab}$ + 27ab$ sqrt{ab}$ – 45ab$\sqrt{ab}$ = ab$\sqrt{ab}$.

d) $\sqrt{\frac{a}{b}}$ + $\sqrt{ab}$ – $\frac{a}{b}$$ \frac{b}{a}$ = $\sqrt{\frac{ab}{b^{2}}}$ + $\sqrt{ab}$ – $\frac{a}{b }$$\frac{ab}{a^{2}}$ = $\frac{\sqrt{ab}}{b}$ + $\sqrt{ab}$ – $\frac{ sqrt{ab}}{b}$ = $\sqrt{ab}$.

Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức sau:

a) $\left (\frac{\sqrt{14} – \sqrt{7}}{1 – \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{15} – \sqrt{5}}{1 – \sqrt{3}} \right )$ : $\frac{1}{\sqrt{7} – \sqrt{5}}$ = – 2

Xem Thêm: Giải bài 54, 55, 56, 57 trang 96 sgk toán 8 tập 1

b) $\frac{a + b}{b^{2}}$.$\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2} + 2ab + b^{2}}}$ = $\left | a \right |$ với a + b >; 0 và b $\neq $ 0 ;

c) $\frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$ : $\frac{1}{\sqrt{a} – \sqrt{b}}$ = a – b và a >; 0, b > 0, $\neq $ b ;

d) $\left ( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} – \sqrt{y}} – \frac{\ sqrt{x} – \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \right )$ : $\frac{\sqrt{xy}}{x – y} $ x > 0, y > 0, x $\neq $ y.

Trả lời:

a) Biến đổi vế trái:

$\left (\frac{\sqrt{14} – \sqrt{7}}{1 – \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{15} – \ sqrt{5}}{1 – \sqrt{3}} \right )$ : $\frac{1}{\sqrt{7} – \sqrt{5}}$

= $\left \lfloor \frac{\sqrt{7}(1 – \sqrt{2})}{1 – \sqrt{2}} + – \frac{\ sqrt{5}(1 – \sqrt{3})}{1 – \sqrt{3}} \right \rfloor$ : $\frac{1}{\sqrt{7} – \ căn bậc hai {5}}$

Xem Thêm : Chủ ngữ trong câu kể Ai là gì? (trang 68) – Tiếng Việt 4 tập 2

= – ($\sqrt{7}$ + $\sqrt{5}$)($\sqrt{7}$ – $\sqrt{5}$) = – (7 – 5) = – 2.

Xem Thêm: Giải tiếng việt 4 trang 131 bài luyện từ và câu: Câu hỏi và dấu chấm

Sau khi biến đổi ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

b) Biến đổi vế trái:

$\frac{a + b}{b^{2}}$.$\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2} + 2ab + b^{2}}}$

= $\frac{a + b}{b^{2}}$.$\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{(a + b)^{ 2}}}$ = $\frac{a + b}{b^{2}}$.$\frac{\left | a \right |.b^{2}}{a + b} $ = $\trái|\phải|$

Xem Thêm: Giải tiếng việt 4 trang 131 bài luyện từ và câu: Câu hỏi và dấu chấm

Sau khi biến đổi ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

c) Biến đổi vế trái:

$\frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$ : $\frac{1}{\sqrt{a} – sqrt{b}}$

= $\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}}$.($\sqrt{a}$ – $\sqrt{b}$)

= ($\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$).($\sqrt{a}$ – $\sqrt{b}$) = a – b

Xem Thêm: Giải tiếng việt 4 trang 131 bài luyện từ và câu: Câu hỏi và dấu chấm

Sau khi biến đổi ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.

d) Biến đổi trái:

$\left ( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} – \sqrt{y}} – \frac{\sqrt{ x} – \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \right )$ : $\frac{\sqrt{xy}}{x – y}$

= $\left \lfloor \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^{2}}{(\sqrt{x} – \sqrt{y} )(\sqrt{x} + \sqrt{y})} – \frac{(\sqrt{x} – \sqrt{y})^{2}}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} – \sqrt{y})} \right \rfloor$ . $\frac{x – y}{\sqrt{xy}}$

= $\frac{ x + 2\sqrt{xy} + y – x + 2\sqrt{xy} – y}{(\sqrt{x} – \sqrt{y})( \sqrt{x} + \sqrt{y})}$.$\frac{x – y}{\sqrt{xy}}$

= $\frac{4\sqrt{xy}}{x – y}$.$\frac{x – y}{\sqrt{xy}}$ = 4

Xem Thêm: Giải tiếng việt 4 trang 131 bài luyện từ và câu: Câu hỏi và dấu chấm

Sau khi biến đổi ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.