Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ Nhất & Bài

12 nguyên hàm là một phần kiến ​​thức quan trọng trong chương trình toán học, đặc biệt khi học hàm số. Ngoài ra trong các đề thi qg những năm gần đây có rất nhiều bài tập về nguyên ngữ. Tuy nhiên, đối với học sinh lớp 12, kiến ​​thức về nguyên ngữ rất rộng và khó. Chúc các bạn vui vẻ tìm hiểu và cùng nhau vượt qua các căn thức nguyên hàm để các bài toán liên quan được giải dễ dàng hơn nhé!

Bạn Đang Xem: Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ Nhất & Bài

1. Lý thuyết ban đầu

1.1. Định nghĩa của prime là gì?

Trong chương trình toán lớp 12, số nguyên hàm được định nghĩa như sau:

Nguyên hàm của một hàm thực f cho trước là f có đạo hàm f, tức là $f’=f$. Cụ thể:

Cho hàm số f xác định trên k. Nguyên hàm của hàm f trên k tồn tại khi $f(x)$ tồn tại trên k và $f'(x)=f(x)$ (x thuộc k).

Chúng ta có thể xem xét ví dụ sau để hiểu rõ hơn về định nghĩa của nguyên hàm:

Hàm số $f(x)=cosx$ có nguyên hàm $f(x)=sinx$ vì $(sinx)’=cosx$ (tức là $f'(x)=f(x)$).

2.2. Thuộc tính của nguyên thủy

Xét hai hàm liên tục g và f đối với k:

• $\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$
• $\int kf(x)dx=k\int f(x)$ (với mọi số thực k ngoại trừ 0)

Hãy xem xét ví dụ sau để minh họa các thuộc tính của nguyên thủy:

$\int sin^{2}xdx=\int\frac{1-cos2x}{2}dx=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1} {2}\int cos2xdx=\frac{x}{2}-\frac{sin2x}{4}+c$

>>Xem thêm:Cách xét tính liên tục của hàm số, bài tập và ví dụ

2. Tổng hợp đầy đủ các công thức gốc dành cho học sinh lớp 12

2.1. Bảng công thức thô cơ bản



2.2. Bảng công thức thô nâng cao



2.3. Mở rộng bảng công thức ban đầu



3. Bảng công thức nguyên hàm lượng giác



4. Các phương pháp và bài tập gốc nhanh nhất từ ​​cơ bản đến nâng cao

Để ghi nhớ các căn thức nguyên hàm, học sinh cần vận dụng các phương pháp, công thức nguyên hàm tương ứng để giải bài tập. Sau đây vuihoc sẽ hướng dẫn các bạn 4 cách tìm nguyên hàm.

4.1. Một phần của công thức ban đầu

Để vận dụng một phần phương pháp ban đầu vào giải bài tập, trước hết học sinh cần nắm được các định lý sau:

$\int u(x).v'(x)dx=u(x).v(x)-\int u(x).u'(x)dx$

hoặc $\int udv=uv-\int vdu$

$du=u'(x)dx, dv=v'(x)dx)$

Ta xét trường hợp 4 nguyên hàm từng phần (trong đó p(x) là một đa thức trong ẩn x)

Ví dụ: tìm họ nguyên hàm cho hàm $\int xsinxdx$

Xem Thêm: Văn mẫu lớp 12: Đoạn văn nghị luận về lòng yêu nước (22 mẫu) Viết đoạn văn về lòng yêu nước

Giải pháp:



4.2. Các phương pháp tính nguyên hàm hàm lượng giác

Trong phương pháp này có dạng nguyên hàm của một số hàm lượng giác thường gặp trong bài tập môn học và đề thi. Cùng điểm qua một số cách tìm nguyên hàm của các hàm lượng giác điển hình nhé!

Dạng 1: $i=\int \frac{dx}{sin(x+a)sin(x+b)}$

• Xem Thêm: Cách chữa chào mào bị tiêu chảy hiệu quả

  Phương pháp tính toán:

  Sử dụng cùng một công thức:

  $i=\int \frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\frac{sin[(x+a)-(x+b)]}{sin(a-b)} =\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}$

  Xem Thêm : Văn mẫu lớp 9: Đóng vai ông Hai kể lại truyện ngắn Làng của Kim Lân 2 Dàn ý & 12 bài văn mẫu hay nhất lớp 9

  Từ:

  $i=\frac{1}{sin(a-b)}\int \frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b) {sin(x+a)sin(x+b)}dx$

  $=\frac{1}{sin(a-b)}\int [\frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}]-\frac{cos(x+) a)}{sin(x+a)}]dx$

  $=\frac{1}{sin(a-b)}[lnsin(x+b)-lnsin(x+a)]+c$

  • Ví dụ ứng dụng:

    Đã tìm thấy nguyên hàm sau: $i=\int \frac{dx}{sinxsin(x+\frac{\pi}{6})}$

    Xem Thêm: Văn mẫu lớp 12: Đoạn văn nghị luận về lòng yêu nước (22 mẫu) Viết đoạn văn về lòng yêu nước

    Giải pháp:

    

    Dạng 2: $i=\int tan(x+a)tan(x+b)dx$

    • Xem Thêm: Cách chữa chào mào bị tiêu chảy hiệu quả

      Phương pháp tính toán:

      

      • Ví dụ ứng dụng: tìm nguyên hàm sau: $k=\int tan(x+\frac{\pi}{3}cot(x+\frac{\pi) }{ 6})dx$

        Xem Thêm: Văn mẫu lớp 12: Đoạn văn nghị luận về lòng yêu nước (22 mẫu) Viết đoạn văn về lòng yêu nước

        Giải pháp:

        

        Dạng 3: $i=\int \frac{dx}{asinx+bcosx}$

        • Xem Thêm: Cách chữa chào mào bị tiêu chảy hiệu quả

          Phương pháp tính toán:

          

          • Ví dụ: tìm nguyên hàm i=$\int \frac{2dx}{\sqrt{3}sinx+cosx}$

            

            Dạng 4: $i=\int \frac{dx}{asinx+bcosx+c}$

            • Xem Thêm: Cách chữa chào mào bị tiêu chảy hiệu quả

              Phương pháp tính toán:

              

              • Ví dụ ứng dụng: tìm nguyên hàm sau: $i=\int \frac{dx}{3cosx+5sinx+3}$

                

                4.3. Cách tính nguyên hàm cho hàm mũ

                Để vận dụng các bài toán về hàm số mũ, học sinh cần nắm vững các dạng bài toán nguyên hàm hàm số mũ cơ bản sau:

                

                Đây là một ví dụ về cách tìm một hàm số mũ:

                Xét hàm sau: y=$5.7^{x}+x^{2}$

                

                Xem Thêm: Văn mẫu lớp 12: Đoạn văn nghị luận về lòng yêu nước (22 mẫu) Viết đoạn văn về lòng yêu nước

                Giải pháp:

                Xem Thêm : Vẽ hoa phượng rơi đơn giản và đẹp nhất năm 2022

                Nguyên hàm của hàm có vấn đề:

                

                Chọn câu trả lời a

                4.4. Phương thức ban đầu đặt ẩn con (thay đổi biến)

                Dựa trên định lý sau, phương pháp biến có hai dạng:

                • Nếu $\int f(x)dx=f(x)+c$ và $u=\varphi (x)$ là các hàm có đạo hàm thì $\int f ( u )du=f(u) + c$

                • Nếu hàm f(x) liên tục thì $x=\varphi(t)$ trong đó $\varphi(t)$ và đạo hàm của nó $\varphi’ (t)$ là Hàm liên tục, ta được: $\int f(x)=\int f(\varphi(t)).\varphi'(t)dt$

                  Xem Thêm: Phương sai (Variance) là gì? Công thức tính phương sai

                  Ở góc độ tổng quát, ta có thể chia phương pháp đặt ẩn phụ ban đầu thành hai bài toán:

                  Câu 1: Sử dụng phương pháp đổi biến loại 1 để tìm nguyên hàm $i=f(x)dx$

                  Phương pháp:

                  • Bước đầu tiên: chọn $x=\varphi(t)$, trong đó $\varphi(t)$ là hàm mà chúng ta chọn tương ứng

                  • Bước thứ hai: phân biệt hai bên, $dx=\varphi'(t)dt$

                  • Bước 3: Ký $f(x)dx$ với t và dt: $f(x)dx=f(\varphi (t)).\varphi’ (t)dt = g (t)dt$

                  • Bước 4: Sau đó $i=\int g(t)dt=g(t)+c$

                    Ví dụ:

                    Tìm nguyên hàm cho $i=\int \frac{dx}{\sqrt{(1-x^{2})^{3}}}$

                    Xem Thêm: Văn mẫu lớp 12: Đoạn văn nghị luận về lòng yêu nước (22 mẫu) Viết đoạn văn về lòng yêu nước

                    Giải pháp:

                    

                    Câu 2: Sử dụng phương pháp đổi biến loại 2 để tìm nguyên hàm $i=\int f(x)dx$

                    Phương pháp:

                    • bước 1: chọn $t=\psi (x)$ trong đó $\psi (x)$ là hàm mà chúng ta chọn phù hợp

                    • Bước 2: Đạo hàm hai vế: $dt=\psi ‘(x)dx$

                    • Bước 3: Biểu thị $f(x)dx$ theo t và dt: $f(x)dx=f[\psi (x)].\psi'(x)dt = g(t)dt$

                    • Bước 4: Sau đó $ i=\int g(t)dt=g(t)+c$

                      Ví dụ:

                      Tìm số nguyên hàm $i=\int x^{3}(2-3x^{2})^{8}dx$

                      

                      Trên đây là toàn bộ kiến ​​thức cơ bản và tổng hợp đầy đủ về công thức nguyên hàm cần nhớ. Hi vọng sau khi đọc xong bài viết này, các em sẽ vận dụng được các công thức để giải các bài toán nguyên hàm từ cơ bản đến nâng cao. Để học và ôn tập thêm phần Công thức toán 12 luyện thi thpt qg, hãy truy cập vuihoc.vn và đăng ký lớp ngay nhé!

                      

                      >>Xem thêm:

                      • Các nguyên hàm lnx và cách giải quyết chúng
                      • Tính toán nguyên hàm tanx bằng một công thức tuyệt vời
                      • Các phương pháp và ví dụ về tích hợp từng phần