Quỹ tích là gì? Phương pháp giải bài toán tìm quỹ tích | Tip.edu.vn

Quỹ đạo riêng là một kiến ​​thức quan trọng trong các môn toán thcs và thpt. Vậy quỹ đạo là gì? Làm thế nào để giải quyết vấn đề quỹ đạo? …trong bài viết sau, hãy cùng nhau tìm hiểu thêm về chủ đề quỹ đạo qua tip.edu.vnnhé!

Bạn Đang Xem: Quỹ tích là gì? Phương pháp giải bài toán tìm quỹ tích | Tip.edu.vn

Định nghĩa quỹ đạo là gì?

Theo định nghĩa, một đồ thị h được gọi là quỹ tích của một điểm m sẽ có tính chất t khi và chỉ khi đồ thị h chứa các điểm có tính chất t.

Các loại locus cơ bản

• Tập hợp điểm gồm hai điểm a và b, mọi điểm nằm giữa a và b đều là đoạn thẳng ab.
• Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định là đường phân giác của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
• Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc đó.
• Tập hợp các điểm cách đường thẳng (d) một khoảng i là hai đường thẳng song song với (d) và có khoảng cách nguyên tố với đường thẳng (d) bằng i.
• Chúng ta có một tập hợp các điểm cách một điểm cố định o một khoảng r, đó là một đường tròn có tâm o và bán kính r trong mặt phẳng, và một đường tròn có tâm o và bán kính r trong hình cầu không gian ba chiều.
• Tập hợp điểm m được tạo bởi hai điểm cuối của một đoạn thẳng đã cho ab (widehat{amb}) sẽ có số đo không đổi (alpha) là hai cung đối xứng qua ab (được gọi là các cung, chứa góc vẽ trên ( alpha) đoạn ab).
• Tập hợp các cặp điểm đối xứng qua một đường thẳng là mặt phẳng chứa đường thẳng đó.
• Tập hợp các điểm trong mặt phẳng có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định cho trước (trong mặt phẳng đó) là hình elip nhận hai điểm cố định làm tiêu điểm.
• Tập hợp các điểm cách đều một điểm và một đường thẳng cố định sẽ là một parabol nằm trong mặt phẳng đi qua điểm cố định và đường thẳng cố định.

Cách chuẩn bị để giải quyết các vấn đề về quỹ đạo

Học tốt môn toán

Trước hết các em cần nghiên cứu kỹ đề, nắm vững các yếu tố cụ thể của đề. Trong các bài toán quỹ đạo thường xuất hiện 3 yếu tố sau:

• Các phần tử cố định: chẳng hạn như điểm, đoạn hoặc đường, …
• Yếu tố không đổi: chẳng hạn như độ dài đoạn thẳng, kích thước góc…
• Yếu tố biến thiên: thường là điểm ta cần tìm quỹ đạo, hoặc một đoạn thẳng, hoặc hình chứa điểm ta cần tìm quỹ đạo.

Các câu hỏi ví dụ để tìm quỹ đạo

Để hiểu rõ hơn về các yếu tố trên, hãy xem xét ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho góc vuông cố định (widehat{rotation}) và đoạn thẳng ab có độ dài cho trước; đỉnh a di chuyển trên cạnh ox và đỉnh b di chuyển trên cạnh oy. Tìm tập hợp trung điểm m của đoạn thẳng ab.

Ở câu hỏi này chúng ta cần xác định 3 yếu tố nêu trên:

• Phần tử cố định là một đỉnh góc vuông o(widehat{rotation})
• Hằng số là độ dài đoạn thẳng ab
• Điểm a và điểm b thay đổi nên trung điểm m của đoạn thẳng ab cũng thay đổi.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng (b) và một điểm cố định a không thuộc đường thẳng b. Tam giác abc có đỉnh b di chuyển trên đường thẳng (b) sao cho luôn bằng chính nó. Tìm tập đỉnh c.

• Các phần tử cố định là đỉnh a và đường thẳng (b)
• Các hệ số biến là đỉnh b và đỉnh c
• Yếu tố không đổi là hình dạng của tam giác abc (ab = ac)

Tóm lại:Qua hai ví dụ trên, chúng ta cần chú ý:

• Có thể có nhiều yếu tố cố định, nhiều yếu tố bất biến và nhiều yếu tố khả biến trong một bài toán. Do đó, chúng tôi chỉ tập trung vào các yếu tố liên quan đến giải pháp.
• Đôi khi các đặc điểm trên không thể đưa ra một cách trực tiếp mà cần được hiểu một cách linh hoạt và sáng tạo.
• Ở ví dụ 2, đề bài yêu cầu tam giác đồng dạng với chính nó nên ta cần đặt ra hoặc chứng minh giả thiết tam giác abc luôn đồng dạng (ab = ac). Để giúp chúng ta giải quyết vấn đề một cách dễ dàng hơn

Cách đoán quỹ đạo

Thao tác đoán quỹ đạo giúp ta hình dung được hình dạng của quỹ đạo (đoạn thẳng, đường thẳng, đường tròn,…).

Để đoán quỹ đạo, chúng ta thường tìm ba điểm của quỹ đạo. Để có kết quả tốt nhất và dễ dàng nhất, chúng tôi xem xét các điểm giới hạn của chúng, miễn là đồ thị được vẽ chính xác.

• Nếu ba điểm ta vẽ không thẳng hàng thì quỹ đạo có khả năng là đường tròn
• Xác suất quỹ đạo là một đường thẳng nếu ba điểm chúng ta vẽ thẳng hàng.

Cách giải bài toán quỹ đạo

Chứng minh phần đúng

Mọi điểm thuộc tính t đều thuộc đồ thị h. Thực chất của phần này là tìm dạng quỹ đạo (kết hợp với một số trường hợp cụ thể để kiểm tra, dự đoán và dùng suy luận lặp để chứng minh quỹ đạo cần tìm).

Chứng minh nghịch đảo

Mọi điểm trong h trong đồ thị đều có thuộc tính t. Mục đích của việc chứng minh điều ngược lại là xác minh lại nó (và trong nhiều trường hợp, điều ngược lại sẽ là cách đáng tin cậy nhất để chứng minh luận điểm của bạn).

Tóm tắt: Sau khi chứng minh hai phần trên, ta kết luận quỹ đạo của điểm m thỏa mãn tính chất t là h.

Ví dụ về bài toán tìm quỹ tích các điểm

Giải bài toán tìm quỹ đạo của điểm: (overrightarrow{ma}+overrightarrow{mb}=koverrightarrow{mc})

• Bước 1:Xác định các yếu tố đặc trưng (yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố khả biến)
• Bước 2: Chuyển biểu thức véc tơ đã cho về một trong 5 dạng toán sau:

Dạng 1: Cho ba điểm a, b, c cố định. Tôi di chuyển. Ta có thể chỉ ra rằng (overrightarrow{cm}=koverrightarrow{ab}) thì điểm m di chuyển trên một đường thẳng (trái (tam giác)) qua điểm c và song song với ab.



Xem Thêm: Phò giá về kinh – Ngữ văn 7

Dạng 2: Cho hai điểm a, b cố định. Quỹ đạo của điểm m​​ là điểm di chuyển sao cho (left | overrightarrow{ma} right |=left | overrightarrow{mb} right |). Khi đó quỹ đạo điểm m thỏa mãn (left | overrightarrow{ma} right |=left | overrightarrow{mb} right |) là đường thẳng (left (delta right )) là đường phân giác đứng của đoạn thẳng ab.



Dạng 3: Cho (i) là điểm cố định, m là điểm di động. Quỹ đạo điểm m thỏa mãn: (overrightarrow{im}=r>0) thì quỹ đạo m là đường tròn (left (i;r right))



Dạng 4: Trên mặt phẳng, cho hai điểm a, b cố định và một điểm m di động. Quỹ đạo của điểm m​​ thỏa mãn: (overrightarrow{ma}.overrightarrow{mb}=0) là đường tròn (c) với (left ( o;frac{ab}{2} right ))



Xem Thêm : Tam sên là gì? Bộ tam sên gồm những gì? Cúng tam sên có ăn được không?

Dạng 5: Trên mặt phẳng, cho hai điểm a, b cố định và một điểm m di động (overrightarrow{am}.overrightarrow{ab}=0). Khi đó quỹ tích điểm m sẽ là đường thẳng (left(right delta)) đi qua a và vuông góc với ab.



Một số bài tập tìm quỹ đạo của chất điểm

Bắt đầu từ khái niệm quỹ đạo, để hiểu rõ hơn kiến ​​thức các em cùng tìm hiểu một số bài tập về quỹ đạo.

Ví dụ 1:cho (bigtriangleup abc). Tìm tập hợp các điểm thỏa mãn m (overrightarrow{ma}+2overrightarrow{mb}-overrightarrow{mc}=koverrightarrow{bc}left ( kne0 right )))

Xem Thêm: Tác phẩm: Bến quê | Soạn văn 9 chi tiết

Xem Thêm : GAME ONLINE

Giải pháp:

Nhận xét:

• a,b,c là các phần tử cố định.
• m là một phần tử biến.

Gọi trung điểm của (i) là ab. Chúng tôi có:

(overrightarrow{ma}+2overrightarrow{mb}-overrightarrow{mc}=koverrightarrow{bc})

(rightarrowoverrightarrow{ma}+overrightarrow{mb}+overrightarrow{mb}-overrightarrow{mc}=koverrightarrow{bc})

(rightarrow2overrightarrow{mi}+overrightarrow{cb}=koverrightarrow{bc}) (vì (i) là trung điểm của ab)

(rightarrow2overrightarrow{mi}=koverrightarrow{bc}-overrightarrow{cb})

(rightarrow2overrightarrow{mi}=koverrightarrow{bc}+overrightarrow{bc})

Xem Thêm: Khối D07 gồm những môn nào?

(rightarrow2overrightarrow{mi}=left (k+1 right )overrightarrow{bc})

(rightarrowoverrightarrow{mi}=left (frac{k+1}{2} right )overrightarrow{bc}) (tương ứng với dạng toán 1 nêu trên)

Vậy quỹ tích của điểm m là đường thẳng (trái (tam giác phải)) qua (i) và song song với bc

Ví dụ 2: Cho a, b cố định. Tập điểm m thỏa mãn (left | 2overrightarrow{ma}+3overrightarrow{mb} right |=5)

Xem Thêm: Tác phẩm: Bến quê | Soạn văn 9 chi tiết

Xem Thêm : GAME ONLINE

Giải pháp:

Nhận xét:

• a, b là các phần tử cố định.
• m là phần tử biến

Giả sử điểm (i) nằm giữa đoạn thẳng ab và thỏa mãn (2overrightarrow{ia}+3overrightarrow{ib}=overrightarrow{0})

Khi đó ta có:

(left|2overrightarrow{ma}+3overrightarrow{mb} right|=5\ rightarrowleft | 2overrightarrow{mi}+2overrightarrow{ia}+3overrightarrow{mi}+3overrightarrow{ib} right|=5\ rightarrowleft | 5overrightarrow{mi}+left (2overrightarrow{ia}+3overrightarrow{ib} right ) right |=5\rightarrow5left | overrightarrow{mi} right |=5\rightarrowleft | overrightarrow{mi} right |=1)

(Giống Mẫu 3 nêu trên)

Vậy quỹ đạo của điểm m là đường tròn có tâm (i) và bán kính bằng 1.

Ví dụ 3: Cho tứ giác abcd. Tìm tập hợp điểm m sao cho (left | 2overrightarrow{ma}+3overrightarrow{mb} right |=left |overrightarrow{mc}+4overrightarrow{md} right |)

Xem Thêm: Tác phẩm: Bến quê | Soạn văn 9 chi tiết

Xem Thêm : GAME ONLINE

Giải pháp:

• Giả sử (i) các điểm thỏa mãn (2overrightarrow{ia}+3overrightarrow{ib}=overrightarrow{0})
• Giả sử điểm (j) thỏa mãn (overrightarrow{jc}+4overrightarrow{jd}=overrightarrow{0})

Ta có:

(trái| 2overrightarrow{ma}+3overrightarrow{mb} phải|=trái |overrightarrow{mc}+4overrightarrow{md} phải|\rightarrowleft | 2overrightarrow{mi}+2overrightarrow{ia}+3overrightarrow{mi}+ 3overrightarrow{ib} phải |=trái |overrightarrow{mj}+overrightarrow{jc}+4overrightarrow{mj}+4overrightarrow{jd} phải |\rightarrowleft | 5overrightarrow{mi}+left ( 2overrightarrow{ia}+3overrightarrow{ib} phải ) phải |=trái | 5overrightarrow{mj}+left ( overrightarrow{jc}+4overrightarrow{jd} phải ) phải |\rightarrowleft | 5overrightarrow{mi} phải |=trái | 5overrightarrow{mj} phải |\rightarrowleft | overrightarrow{mi} right|=left | overrightarrow{mj} right|)

(giống như Toán 2 đã nói ở trên).

Vậy quỹ tích của điểm m là một đường thẳng (trái(delta phải)), trực giao với (ij)

Ví dụ 4:cho (bigtriangleup abc). Tìm tập điểm m thỏa mãn (overrightarrow{am}.overrightarrow{ab}=am^2)

Xem Thêm: Tác phẩm: Bến quê | Soạn văn 9 chi tiết

Xem Thêm : GAME ONLINE

Giải pháp:

Ta có:

(overrightarrow{am}.overrightarrow{ab}=overrightarrow{am}.overrightarrow{am}\rightarrowoverrightarrow{am}.overrightarrow{ab}-overrightarrow{am}.overrightarrow{am}=0\rightarrowoverrightarrow{ {) am}.left ( overrightarrow{ab}-overrightarrow{am} right )=0\rightarrowoverrightarrow{am}.overrightarrow{mb}=0\rightarrow-overrightarrow{ma}.overrightarrow{mb}=0\ rightarrowoverrightarrow{ma}.overrightarrow{mb}=0)

(Giống như Toán 4 ở trên)

Vậy quỹ tích của điểm m là đường tròn tâm o bán kính (frac{ab}{2}).

Ví dụ 5:cho (bigtriangleup abc). Tìm tập hợp điểm m sao cho (left |overrightarrow{ma}+overrightarrow{mb}+overrightarrow{mc} right |=left |6overrightarrow{ma}-3overrightarrow{mb}+3overrightarrow{mc} right |)

Xem Thêm: Tác phẩm: Bến quê | Soạn văn 9 chi tiết

Xem Thêm : GAME ONLINE

Giải pháp:

• Gọi trung điểm của (i) bc (rightarrowoverrightarrow{mb}+overrightarrow{mc}=2overrightarrow{mi})
• Gọi g là trọng tâm của (bigtriangleup abcrightarrowoverrightarrow{ga}+overrightarrow{gb}+overrightarrow{gc}=overrightarrow{0})

Ta có:

(left|overrightarrow{ma}+overrightarrow{mb}+overrightarrow{mc} right|=left|6overrightarrow{ma}-3overrightarrow{mb}+3overrightarrow{mc} right|\rightarrowleft |overrightarrow{mg}+ ) overrightarrow{ga}+overrightarrow{mg}+overrightarrow{gb}+overrightarrow{mg}+overrightarrow{gc} right|=left|6overrightarrow{ma}-3left ( overrightarrow{mb}+overrightarrow{mc} right) phải| rightarrowleft |3overrightarrow{mg}+left ( overrightarrow{ga}+overrightarrow{gb}+overrightarrow{gc} phải ) phải |=trái |6overrightarrow{ma}-3left ( 2overrightarrow{mi} phải ) phải |\rightarrowleft | 3overrightarrow{mg} phải|=trái |6overrightarrow{ma}-6overrightarrow{mi} phải|\rightarrow3left |overrightarrow{mg} phải|=6trái |overrightarrow{ia} phải|\rightarrow mg=2ia)

• Ta thấy a cố định (giả sử) và (i) là trung điểm của bc suy ra (i) cố định. (1)
• g là trọng tâm của (bigtriangleup abc) để suy ra g (2) cố định

Từ (1) và (2) suy ra quỹ đạo của điểm m là đường tròn có tâm g và bán kính (2ia)

Ví dụ 6: Trên mặt phẳng có 2 điểm cố định a, b. Tìm tập hợp điểm m thỏa mãn (am^2+overrightarrow{am}.overrightarrow{mb}=0)

Xem Thêm: Tác phẩm: Bến quê | Soạn văn 9 chi tiết

Xem Thêm : GAME ONLINE

Giải pháp:

Ta có:

(am^2+overrightarrow{am}.overrightarrow{mb}=0\ rightarrowoverrightarrow{am}.overrightarrow{am}+overrightarrow{am}.overrightarrow{mb}=0\ rightarrowoverrightarrow{am}.left (overrightarrow{am}+overrightarrow{mb} right )=0\ rightarrowoverrightarrow{am}.overrightarrow{ab}=0)

Bài viết trên tip.edu.vn đã tổng hợp về chủ đề quỹ tích là gì và một số kiến ​​thức liên quan. Hi vọng bài viết này có thể mang đến cho bạn đọc những nội dung hữu ích trong quá trình tìm hiểu và nghiên cứu về quỹ là gì. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Xem chi tiết qua bài giảng bên dưới:

(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm:

• Khái niệm và định nghĩa xác suất trong toán học
• Hàm liên tục là gì? Phương pháp giải quyết vấn đề và các loại câu hỏi
• 11 giới hạn số: Lý thuyết, bài tập và dạng toán
• Bài 11 Phép dời hình – Khái niệm lý thuyết và bài tập cơ bản
• Hiệp phương sai và các dạng bài toán của hàm lượng giác
• Phương trình lượng giác và cách giải phương trình lượng giác
• Dãy số cộng – lý thuyết và cách giải các dạng bài tập
• Đường vuông góc với mặt phẳng: Lý thuyết và các dạng bài tập
• 11 lớp vectơ không gian và các dạng toán vectơ không gian