Biểu diễn hình học của số phức là gì? Công thức và cách dạng bài tập

Thế nào là biểu diễn hình học của số phức? Công thức và bài tập

1) Định nghĩa biểu diễn hình học phức hợp

Mỗi số phức $z=x+yi$ được biểu diễn bằng một điểm $m\left( x;y \right)$, sau đó $\overrightarrow{om}=\left( x;y Right)$ trong mặt phẳng phức. Chúng tôi viết $m\left( x+yi \right)$ hoặc $m\left( z \right)$.

Bạn Đang Xem: Biểu diễn hình học của số phức là gì? Công thức và cách dạng bài tập

Sau đó $\left| z \right|=\left| \overrightarrow{om} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{ 2}}}$

Nếu điểm $m\left( {{z}_{1}} \right)$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}$ và điểm $n left( { {z}_{2}} \right)$ là một điểm đại diện cho số nhiều ${{z}_{2}}$ thì ${{z}_{1}}-{{z} _ {2 }} =\overrightarrow{om}-\overrightarrow{on}=\overrightarrow{nm},{{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\overrightarrow { om} + overrightarrow{on}$.

2) Phương pháp giải quyết vấn đề

@Câu 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $f\left( z;\overline{z} \right)=g\ left ( z ;\overline{z} \right)$ hoặc $f\left( z;\overline{z} \right)$ là số thực hoặc $f\left( z;\ gạch đầu dòng {z} \right)$ là số ảo

Phương pháp giải: sử dụng $z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{r} \right)\rightarrow \overline{z}=x-yi$ để thay thế công thức biểu thức ban đầu, các phép biến đổi và kết luận.

Mối quan hệ giữa $x$ và $y$

Tập hợp điểm cuối $m\left( x;y \right)$

Xem Thêm: Cách học thuộc nhanh Bảng công thức lượng giác bằng thơ, “thần chú”

○ $ax+by+c=0$

Đó là một đường thẳng $ax+by+c=0$

Xem Thêm : Tập làm văn lớp 5: Một số bài văn tả cảnh (122 mẫu) Tả cảnh lớp 5

○ $\left[ \begin{array} {} {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2 }}={{r}^{2}} \\ {} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0 \\ end{array} \right.$

là một hình tròn $\left( c \right)$, tâm là $i\left( a;b \right)$, bán kính là $r=\sqrt{{{a} ^{2 } }+{{b}^{2}}-c}$

○ $\left[ \begin{array} {} {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2 }}\le {{r}^{2}} \\ {} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c\le 0 \ \end{array} \right.$

là một hình tròn $\left( c \right)$, tâm là $i\left( a;b \right)$, bán kính là $r=\sqrt{{{a} ^{2 } }+{{b}^{2}}-c}$ (bao gồm cả hình tròn và điểm bên trong).

○ $r_{1}^{2}\le {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2} }\le r_{2}^{2}$

Nó bao gồm hai vòng tròn đồng tâm $i\left( a;b \right)$ và bán kính ${{r}_{1}}$ và ${{r}_ {2}}$

Xem Thêm: Top 6 cách Tra cứu mã số thuế cá nhân đơn giản nhất [Update 2022]

○ $y=a{{x}^{2}}+bx+c$

là một parabol $\left( p \right)$ có đỉnh $i\left( -\frac{b}{2a};-\frac{\delta }{4a} phải)$

○ $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b} ^{2}}}=1$ với $\left\{ \begin{array} {} m{{f}_{1}}+m{{f}_{2}}=2a \ \ {} {{f}_{1}}{{f}_{2}}=2c<2a \\ \end{array} \right.$

là hình elip có trục chính $2a$, trục nhỏ $2b$, tiêu cự ${{f}_{1}}{{f}_{2}}=2c=2\sqrt{{{ a }^{2}}+{{b}^{2}}};\left( a>b>0 \right)$

Một số trường hợp đặc biệt:

þ Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ sao cho $\left| z-\left( a+bi \right) \right|=\left| z-\left ( c+di \right) \right|$

Xem Thêm : 99 Hình xăm Lông Vũ: Đẹp, Ý nghĩa nhất cho Nam, Nữ

gọi $m\left( z \right);\,\,a\left( a;b \right);\,\,b\left( c;d right)$ là điểm biểu diễn các số phức $z;\,\,a+bi$ và $c+di$.

Sau đó $\left| z-\left( a+bi \right) \right|=\left| z-\left( c+di \right) \right|\ leftrightarrow ma=mb\rightarrow $ nghĩa là tập điểm phức $z$ trực giao với $ab$.

þ Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-\left( a+bi \right) \right|=r\left( r>0 \ phải)$

Xem Thêm: Top 11 mẫu phân tích bài thơ về Tiểu đội xe không kính hay chọn lọc

Gọi $m\left( z \right);\,\,i\left( a;b \right)$ lần lượt biểu diễn các điểm của phức $z$ và $a + bi $

Khi đó $\left| z-\left( a+bi \right) \right|=r\leftrightarrow mi=r\rightarrow $ đại diện cho tập điểm phức $z$ là $i left( a ; đường tròn tâm b \right)$ bán kính $r$.

þ Bài toán 2: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn phức $w$, biết rằng $w={{z}_{1}}.z+{{z}_{2} }$ và phức $z$ thỏa mãn $\left| z-a-bi \right|=r$

Ta có: $z=\frac{w-{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}$ suy ra $\left| z-a-bi \right| =r\leftrightarrow \left| \frac{w-{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}-a-bi \right|=r\leftrightarrow left| w-{{z}_{2}}-{{z}_{1}}\left( a+bi \right) \right|=r\left| {{z}_ {1}}\right|$

Tập hợp các điểm đại diện cho $w$ dưới dạng hình tròn {{z}_{1}} \right|$ có bán kính $r\left|,

Tổng quát: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w$, biết $w={{z}_{1}}.z+{{z}_{2}}$ và số phức $z$ thỏa mãn $\left| z.{{z}_{0}}-a-bi \right|=r$ (thêm phần tử ${{z}_{0}}$)

Ta có: $z=\frac{w-{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}$ suy ra $\left| z.{{z}_ {0}}-a-bi \right|=r\leftrightarrow \left| {{z}_{0}} \right|\left| \frac{w-{{z}_{ 2}}}{{{z}_{1}}}-\frac{a+bi}{{{z}_{0}}} \right |=r\leftrightarrow \left| w- {{z}_{2}}-\frac{{{z}_{1}}\left( a+bi \right)}{{{z}_{0}}} \right| =\frac{r\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{0}} \right|}$

Tập hợp các điểm đại diện cho $w$ dưới dạng hình tròn {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{ bán kính $\frac{r\left | 0}} \right|}$.