Tổng hợp dạng toán về phương trình bậc 2 một ẩn thông dụng nhất

Phương trình ẩn tứ phân là một trong những kiến ​​thức quan trọng trong chương trình toán trung học cơ sở. Vì vậy, hôm nay Master Ant xin giới thiệu đến các bạn một bài viết về chủ đề này. Bài viết sẽ tóm tắt lý thuyết cơ bản và đưa ra các ví dụ chi tiết, rõ ràng về các dạng toán thường gặp và ứng dụng. Đó là một chủ đề nóng và thường xuất hiện trong các kỳ thi tuyển sinh. Hãy cùng Master Ant khám phá:

Bạn Đang Xem: Tổng hợp dạng toán về phương trình bậc 2 một ẩn thông dụng nhất

1. Phương trình bậc hai Một chưa biết – Lý thuyết.

1.1. Phương trình bậc hai chưa biết là gì?

Đối với phương trình sau: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), nó được gọi là phương trình bậc hai của ẩn x.

Giải pháp: Chúng tôi gọi Δ = b2-4ac. sau đó:

• Δ> 0: Phương trình có 2 nghiệm:



• Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x = -b / 2a
• Δ <0 thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Trong trường hợp b = 2b ‘, chúng ta có thể tính Δ’ = b’2-ac cho đơn giản, giống như trên:

• Δ ‘> 0: Phương trình có 2 nghiệm khác nhau.



• Δ ‘= 0: phương trình có nghiệm kép x = -b’ / a
• Δ ‘<0: Phương trình vô nghiệm.

1.2. định lý viet và ứng dụng của nó vào một phương trình bậc hai chưa biết.

Đối với phương trình bậc hai một biến: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thì thỏa mãn mối quan hệ sau:



Dựa trên mối quan hệ trên, chúng ta có thể sử dụng định lý Việt Nam để tính các biểu thức đối xứng liên quan đến x1 và x2

• x1 + x2 = -b / a
• x12 + x22 = (x1 + x2) 2-2x1x2 = (b2-2ac) / a2
• 
• …

Lưu ý: Đối với dạng này, chúng ta cần biến đổi biểu thức để (x1 + x2) và x1x2 xuất hiện để áp dụng quan hệ viet.

Định lý Chống Việt Nam: Giả sử có hai số thực x1 và x2 thỏa mãn: x1 + x2 = s, x1x2 = p thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình x2- sx + p = 0

1.3. Một số ứng dụng phổ biến của định lý viet trong giải toán:

• Suy nghĩ về phương trình bậc hai: Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),
  • Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 và x2 = c / a
  • Nếu a-b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = -1 và x2 = -c / a
  • Phép nhân đa thức: Cho đa thức p (x) = ax2 + bx + c Nếu x1 và x2 là nghiệm của phương trình p (x) = 0 thì đa thức p (x) = a (x- x1) (x -x2)
  • Xác định dấu của nghiệm: Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), giả sử x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình. Theo Định lý Việt Nam, ta có:

  

  • Nếu s <0, dấu của x1 và x2 là đảo ngược.
  • Nếu s> 0, x1 và x2 cùng dấu:
    • p> 0 thì cả hai nghiệm đều dương.
    • p <0, cả hai giải pháp đều có âm thanh giống nhau.

    2. Dạng bài tập về phương trình bậc hai một biến:

    2.1. Dạng 1: Bài tập về phương trình bậc hai không có tham số.

    Để giải một phương trình bậc hai, cách phổ biến nhất là sử dụng công thức để tính Δ hoặc Δ ‘, sau đó áp dụng các điều kiện và công thức để giải được đề cập trong mục i.

    Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

    1. x2-3x + 2 = 0
    2. x2 + x-6 = 0

    Xem Thêm : Sử dụng Service trong Angular

    Mô tả:

    1. Δ = (- 3) 2-4.2 = 1. Vì vậy

    

    Ngoài ra, ta có thể áp dụng cách tính nhanh: để ý

    Xem Thêm : BEFOREHAND LÀ GÌ

    Suy ra phương trình có nghiệm x1 = 1 và x2 = 2/1 = 2

    1. Δ = 12-4. (- 6) = 25. Vì vậy

    Tuy nhiên, ngoài phương trình bậc hai đầy đủ, chúng ta còn xét các trường hợp đặc biệt sau:

    Phương trình vị trí tuyển dụng cuối cùng.

    Thiếu số hạng đầu tiên: ax2 + c = 0 (1).

    Phương pháp:

    • 
    • Nếu -c / a> 0, giải pháp là:

    

    • Nếu -c / a = 0, giải ra x = 0
    • Nếu -c / a <0 thì phương trình vô nghiệm.

    Số hạng tự do khuyết: ax2 + bx = 0 (2). Phương pháp:

    • 

    Ví dụ 2: Giải phương trình:

    1. x2-4 = 0
    2. x2-3x = 0

    Xem Thêm : Sử dụng Service trong Angular

    Mô tả:

    1. x2-4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = 2 hoặc x = -2
    2. x2-3x = 0 x (x-3) = 0 x = 0 hoặc x = 3

    Phương trình trả về dạng bậc hai.

    Phương trình bình phương : ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0):

    • Đặt t = x2 (t≥0).
    • Dạng của phương trình đã cho là: at2 + bt + c = 0
    • Giải như một phương trình bậc hai thông thường, chú ý đến điều kiện t≥0

    Phương trình chứa một chế độ ẩn:

    • Tìm điều kiện xác định của phân thức (điều kiện để mẫu số khác không).
    • Giảm mức giảm chung.
    • Giải phương trình vừa thu được, chú ý so sánh với điều kiện ban đầu.

    Chú ý: Phương pháp đặt t = x2 (t≥0) được gọi là phương pháp đặt ẩn phụ. Ngoài cách đặt ẩn phụ như trên, đối với một số bài toán tốt nhất bạn nên chọn ẩn phụ một cách thông minh để đưa bài toán từ bậc cao về dạng bậc hai quen thuộc. Ví dụ: bạn có thể đặt t = x + 1, t = x2 + x, t = x2-1…

    Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

    1. 4×4-3×2-1 = 0
    2. 

    Xem Thêm : Sử dụng Service trong Angular

    Mô tả:

    1. Đặt t = x2 (t≥0), khi đó phương trình trở thành:

    4t2-3t-1 = 0, suy ra t = 1 hoặc t = -¼

    • t = 1 x2 = 1 x = 1 hoặc x = -1.
    • t = -¼, nhập theo điều kiện t≥0

    Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 hoặc x = -1.

    1. Chúng tôi có:

    

    2.2 Dạng 2: Phương trình bậc hai chưa biết tham số.

    Suy ra số nghiệm của phương trình bậc hai.

    Phương pháp: Tính Δ bằng công thức và chứng minh rằng phương trình có 2 nghiệm khác nhau, nghiệm kép hoặc không có nghiệm theo dấu của Δ.

    Ví dụ 4: Giải và biểu diễn theo tham số m: mx2-5x-m-5 = 0 (*)

    Xem Thêm : Sử dụng Service trong Angular

    Mô tả:

    Xét m = 0, thì (*) -5x-5 = 0 x = -1

    Xét m ≠ 0 thì (*) là phương trình bậc hai với ẩn số x.

    • 
    • Vì Δ≥0 nên phương trình luôn có nghiệm:
      • Δ = 0 ⇔ m = -5 / 2 nên phương trình có nghiệm duy nhất.
      • Δ> 0 ⇔ m ≠ -5 / 2 thì phương trình có hai nghiệm khác nhau:

      

      Xác định các điều kiện tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

      Phương pháp: Để đạt yêu cầu của bài toán, trước hết phương trình bậc hai phải giải được. Vì vậy, chúng tôi làm như sau:

      • Tính toán để tìm điều kiện không âm.
      • Theo định lý của Việt Nam, lấy mối quan hệ giữa tích và tổng, để chứng minh theo yêu cầu.

      Ví dụ 5: Cho phương trình x2 + mx + m + 3 = 0 (*). Tìm m sao cho phương trình (*) có 2 nghiệm:

      

      Xem Thêm : Sử dụng Service trong Angular

      Mô tả:

      Phương trình (*) có một nghiệm:

      Khi đó, theo định lý của Việt Nam, hãy đặt x1 và x2 là 2 nghiệm:

      

      Nếu không:

      

      Theo chủ đề:

      

      Hãy thử lại:

      • Khi m = 5, = – 7 <0 (loại)
      • Khi m = -3, = 9> 0 (nhận)

      Vậy m = -3 thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

      Trên đây là bản biên soạn phương trình bậc hai ẩn đơn ẩn của Master Ant. Mong rằng qua bài viết này các bạn đã hiểu rõ hơn về chủ đề này. Ngoài việc củng cố kiến ​​thức, các em còn rèn luyện óc giải phương trình bậc hai. Bạn cũng có thể tham khảo thêm các bài viết khác trên trang Ant Masters để tìm hiểu thêm và khám phá thêm nhiều kiến ​​thức mới. Chúc các bạn luôn vui khỏe và học tập vui vẻ!