Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

a) Định nghĩa:

Phương trình bậc nhất của hàm số lượng giác là phương trình dạng \(at + b = 0\), trong đó a, b là các hằng số \(\left( {a \ ne 0} right) \)t là một trong các hàm lượng giác.

Bạn Đang Xem: Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Ví dụ: \(2\sin x – 1 = 0\,;\,\,\,c{\rm{os}}2x + frac{1}{2} = 0;\,\,\,3\tan x – 1 = 0;\,\,\sqrt 3 \cot x + 1 = 0\ )

b) Phương pháp: Quay về lượng giác cơ bản.

a) Dạng phương trình

\(\begin{array}{l}a{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0\\a{\cos ^2}x + b cos x + c = 0\\a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0\\a{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0\cuối{mảng}\)

b) Cách khắc phục

Vị trí:

\(t = \sin x{\rm{ ( – 1}} \le {\rm{t}} \le {\rm{1)}}\)

\(\begin{array}{l}t = \cos x{\rm{ ( – 1}} \le {\rm{t}} \le {\rm{ 1)}}\\t = \tan x\\t = \cot x\end{array}\)

c) Ghi chú

• • Nếu a là một số đã cho xác định bởi \(\tan \alpha\) thì phương trình tanx = tana có nghiệm x = \(\alpha + \)kp điều kiện \ (\cos x \ne 0\).
  • Phương trình tanp(x) = tanq(x) Khi đó cần chú ý đến điều kiện cosp(x) \(\ne\) 0 và cosq(x) \(\ne\ ) 0 .

  Xem Thêm: Vi hành và hành vi

a) Dạng phương trình

Xem Thêm : Giải bài 7, 8, 9 trang 69, 70 SGK Toán 9 tập 1

\(a\sin x + b\cos x = c{\rm{ (1)}}\)

Điều kiện có nghiệm: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)

b) Cách khắc phục

• • Cách 1: Chia cả hai vế của (1) cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) để có: li>\(\left( 1 \right) \leftrightarrow \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b ^2}} }}\)

    Bởi vì \({\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + { left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\) Vậy ta đặt \( left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^ 2}} }}}\\{\cos \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\end{array }} \Có.\)

    Phương trình trở thành:

    \(\sin x\sin \varphi + \cos x\cos \varphi = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2 }} }} \leftrightarrow \cos \left( {x – \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

    By \(\cos \alpha = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) chúng ta có được phiên bản trig cơ bản.

    Xem Thêm: 199 hình ảnh dễ thương, ngộ nghĩnh đốn tim triệu độc giả

    Hoàn toàn tương tự, chúng ta cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi = \frac{a}{{\sqrt {{ a^2 } + {b^2}} }}\\sin \varphi = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \end{ mảng} \right.\)

    Khi đó phương trình trở thành: \({\mathop{\rm sinxcos}\nolimits} \varphi + cosxsin\varphi = \frac{c}{{\sqrt {{a ^2 } + {b^2}} }} \leftrightarrow \sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2 } + {b^2}} }}\)

    • • Phương pháp hai:

    Xem Thêm : Top 10 Bài văn phân tích bài thơ “Ông đồ” của Vũ Đình Liên hay nhất

    ·Xem xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,{\rm{ k}} \in \mathbb {z}\) là nghiệm của (1)

    Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0 \leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{z} )

    Hãy \(t = \tan \frac{x}{2}\). Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 – {t ^ 2}}}{{1 + {t^2}}}\)

    Phương trình trở thành:

    \(a.\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + b.\frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t ) ^2}}} = c \leftrightarrow \left( {b + c} \right){t^2} – 2at + c – b = 0{\rm{ (2)}}\)

    Giải (2) theo t, tìm t thay vì \(t = \tan \frac{x}{2}\) suy ra x

    Xem Thêm: Xăm chữ la mã ngày tháng năm sinh

    • • • Phương pháp ba:

    Nếu \(a \ne 0\) chia cả hai vế cho a thì ta sẽ \(\tan \alpha = \frac{b}{a}\) \(\ left({ – \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\)

    Phương trình trở thành: \(\sin x + \frac{{\sin \alpha }}{{c{\rm{os}}\alpha }}\cos x = Score{c}{a}\)

    \( \leftrightarrow c{\rm{os}}\alpha \sin x + \sin \alpha \cos x = \frac{c}{a}c{\ rm{os}}\alpha \leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \frac{c}{a}c{\rm{os}}\alpha \)

    Đặt \(\sin \varphi = \frac{c}{a}\cos \alpha \) ta được phương trình lượng giác cơ bản \(\sin (x + ) alpha ) = \sin \varphi \).