Tính các điểm sau:
Bạn Đang Xem: Giải bài 1, 2, 3 trang 112, 113 SGK Giải tích 12
a)\(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2 }}dx\) b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)dx\ )
c)\(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1}{x(x+1)}dx\) d) \( int_{0}^{2}x(x+1)^{2}dx\)
e)\(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx\) g ) \(\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3xcos5xdx\)
NGƯỜI CHIẾN THẮNG
a) \(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2 }}dx\) = \(-\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}(1-x)^{\frac{2 }{3}}d(1-x)=-\frac{3}{5}(1-x)^{\frac{5}{3}}|_{\frac{-1}{ 2}}^{\frac{1}{2}}\)
= \(-\frac{3}{5}\left [ \frac{1}{2\sqrt[3]{4}}-\frac{3\sqrt[3 ] ]{9}}{2\sqrt[3]{4}} \right ]=\frac{3}{10\sqrt[3]{4}}(3\sqrt[3]{ 9 }-1)\)
b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)dx\)= (-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)d(\frac{\pi}{ 4}-x)\) = \(cos(\frac{\pi}{4}-x)|_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
= \(cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2})-cos\frac{\pi}{4}=0\ )
c)\(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1}{x(x+1)}dx\)=\(\ int_{\frac{1}{2}}^{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})dx =ln\left | \frac{ x}{x+1} \right||_{\frac{1}{2}}^{2}=ln2\)
d)\(\int_{0}^{2}x(x+1)^{2}dx\)= \(\int_{0}^{2}(x^{ 3}+2x^{2}+x)dx=(\frac{x^{4}}{4}+\frac{2}{3}x^{3}+\frac{x^{ 2}}{2})|_{0}^{2}\)
= \(\frac{16}{4}+\frac{16}{3}+2= 11\tfrac{1}{3}\)
e)\(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx\)= \(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{-3(x+1)+4}{(x+1)^{2}}dx=\ int_{\frac{1}{2}}^{2}\left [ \frac{-3}{x+1}+\frac{4}{(x+1)^{2}} \right]dx\)
= \(\left (-3.ln\left | x+1 \right |-\frac{4}{x+1} \right )|_{\frac{1 }{2}}^{2}= \frac{4}{3}-3ln2\)
g) Ta có \(f(x) = sin3xcos5x\) là một hàm số lẻ.
Xem Thêm: Review Sách: Sống Hết Mình Cho Ngày Hôm Nay
Bởi vì \(f(-x) = sin(-3x)cos(-5x)\)
\(= -sin3xcos5x = -f(x)\)
Nên:
\(\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3xcos5x =0\)
Lưu ý: Bạn có thể sử dụng \(x= -t\) trực tiếp hoặc chuyển đổi thành tổng để tính toán.
Xem Thêm : Chữ Ký Tên Cúc Phong Thủy ❤️️ Mẫu Chữ Kí Tên Cúc Đẹp
Bài 2 Trang 112 – SGK Giải Tích 12
Tính các điểm sau:
Bạn Đang Xem: Giải bài 1, 2, 3 trang 112, 113 SGK Giải tích 12
a) \(\int_0^2 {\left| {1 – x} \right|} dx\) b) \(\int_0^{{\pi \trên 2 }} tôi{n^2}xdx\)
c) \(\int_0^{ln2} {{{{e^{2x + 1}} + 1} \vượt {{e^x}}}} dx\) d) \ (\int_0^\pi s in2xco{s^2}xdx\)
NGƯỜI CHIẾN THẮNG
a) Ta có \(1 – x = 0 ⇔ x = 1\).
\(\int_0^2 {\left| {1 – x} \right|} dx = \int_0^1 {\left| {1 – x} \right|} dx + \int_1^2 {\left| {1 – x} \right|} dx\)
\(= – \int_0^1 {(1 – x)} d(1 – x) + \int_1^2 {(x – 1)} d(x – 1)\)
\( = – {{{{(1 – x)}^2}} \ trên 2}|_0^1 + {{{{(x – 1)}^2}} \ trên 2 }|_1^2 = {1\trên 2} + {1\trên 2} = 1\)
b) \(\int_0^{{\pi \trên 2}} s i{n^2}xdx\)
\( = {1 \ trên 2}\int_0^{{\pi \trên 2}} {(1 – cos2x)} dx\)
Xem Thêm: 50 câu tục ngữ, thành ngữ, ca dao về hoa sen chứa đựng ý nghĩa sâu sắc
\( = {1 \ trên 2}\left( {x – {1 \ trên 2}sin2x} \right)|_0^{{\pi \ trên 2}} = { \pi \nhiều hơn 4}\)
c) \(\int_0^{ln2} {{{{e^{2x + 1}} + 1} \ qua {{e^x}}}} dx = \int_0^{ln2 } {({e^{x + 1}} + {e^{ – x}})} dx\)
\( = ({e^{x + 1}} – {e^{ – x}})|_0^{ln2} = e + {1 \ trên 2}\)
d) Ta có: \(sin2xcos^2x\) = \({1 \trên 2}sin2x(1 + cos2x) = {1 \trên 2}sin2x + {1 \trên 4 }sin4x\)
Do đó: \(\eqalign{& \int_0^\pi s in2xco{s^2}xdx = \int_0^\pi {({1 \trên 2}sin2x + { 1 \ trên 4}sin4x)} dx \cr & = ( – {1 \trên 4}cos2x – {1 \trên {16}}cos4x)|_0^\pi \cr & = – {1\trên 4} – {1\trên{16}} + {1\trên 4} + {1\trên{16}} = 0 \cr}\).
Bài 3 Trang 113 – SGK Giải tích 12
Sử dụng phương pháp biến đổi số để tính tích phân:
a) \(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\ ) (hãy để \(u= x+1\))
b) \(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx\) (hãy để \(x = sint\) )
c) \(\int_{0}^{1}\frac{e^{x}(1+x)}{1+x.e^{x}}dx\) (đặt \ (u = 1 + x.{e^x}\))
Xem Thêm : Bài thơ Hạt gạo làng ta
d)\(\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dx\) (đặt\(x= asint\))
NGƯỜI CHIẾN THẮNG
a) Đặt \(u= x+1 \rightarrow du = dx\) và \(x = u – 1\).
Khi \(x = 0\) thì \(u = 1, x = 3\) thì \(u = 4\). Sau đó:
\(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\) = \(\int_{1}^{4}\frac{(u-1)^{2}}{u^{\frac{3}{2}}}du =\int_{1} ^{4}\frac{u^{2}-2u+1}{u^{\frac{3}{2}}}du\)
= \((\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}-4.u^{\frac{1}{2}}-2u^{ \frac{-1}{2}})|_{1}^{4}=\frac{5}{3}\)
Xem Thêm: Bài tập tính giá trị biểu thức lớp 3
b) Đặt \(x = sint\), \(0<t<\frac{\pi}{2}\). Chúng ta có: \(dx = costdt\)
Và \(\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-sin^{2}t}= \sqrt{cos^{2}t}=\left | Chi phí \right |= chi phí t.\)
Khi \(x = 0\),\(t = 0\), khi \(x = 1\),\(t= \frac{\pi}{2 }\) . Sau đó:
\(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos^{2}tdt= \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+cos2t)dt\)
\(=\frac{1}{2}(t+\frac{1}{2}sin 2t)|_{0}^{\frac{\pi}{2}}= \frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-0)= \frac{\pi}{4}\)
c) Đặt: \(t = 1 + x{e^x} \rightarrow dt = {e^x}(1 + x)dx\)
Khi \(x = 0 \rightarrow t = 1\)
Khi \(x = 1 \rightarrow t = 1 + e\)
Vậy ta có:
\(\int\limits_0^1 {{{{e^x}(1 + x)} \ qua {1 + x{e^x}}}dx = \int\limits_1 ^{1 + e} {{{dt} \over t} = {\rm{[}}\ln |t|{\rm{]}}} } \left| {_1^{1 + e} = \ln (1 + e)} \Có.\).
d) Đặt \(x = a\sin t \rightarrow dx = a\cos tdt\)
Thay đổi đường viền:
\(\eqalign{& x = 0 \rightarrow t = 0 \cr & x = {a \ trên 2} \rightarrow t = {\pi \ trên 6} cr} \)
Vậy ta có:
\(\int\limits_0^{{a \over 2}} {{1 \over {\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}dx = int\limits_0^{{\pi \trên 6}} {{{a\cos tdt} \trên {\sqrt {{a^2} – {a^2}{{\sin }^2}t} }} = \int\limits_0^{{\pi \trên 6}} {dt = t\left| {_0^{{\pi \trên 6}} = {\pi \hơn 6}} \có.} } } \).
giaibaitap.me
Nguồn: https://anhvufood.vn
Danh mục: Giáo Dục