Bài 1: Tích phân bất định – Nguyên hàm, Tích phân bất định

Định nghĩa

Bạn Đang Xem: Bài 1: Tích phân bất định – Nguyên hàm, Tích phân bất định

Đối với hàm f, f xác định trên [a,b].

Nếu

(f'(x) = f(x),,forall x in (a,b))

f được gọi là nguyên hàm của f trên [a,b] nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(f'(x) = f(x),,forall x in (a,b))

Và(f'(a^+) = f(a),f'(b^-) = f(b))

Ví dụ:

• – cosx là một nguyên hàm của sinx vì (-cosx)’ = sinx. – cosx + 7 cũng là một nguyên hàm của sinx. (frac{{{x^3}}}{3},frac{{{x^3}}}{3} – 5,frac{{{x^3}}}{3} – c ) là số nguyên của x2 vì:

(left( {frac{{{x^3}}}{3}} right)’ = left( {frac{{{x^3}}}{3} – 5} right) = left( {frac{{{x^3}}}{3} – c} right) = {x^2})

Lý thuyết: Nếu một hàm f liên tục trên [a, b] thì f có nguyên hàm trên [a, b].

Lý thuyết: Giả sử f là một nguyên hàm của f trong (a, b). Khi đó ta có:

i) f + c (c là hằng số) cũng là nguyên hàm của f trong (a, b)

ii) Nếu g cũng là một nguyên hàm của f trong (a, b) thì tồn tại một hằng số c sao cho

(gleft( x right){rm{ }} = {rm{ }}fleft( x right){rm{ }} + {rm{ }}c , ,{rm{ }}forall x{rm{ }} in left( {a,b} right))

Chứng nhận:

i) (left( {fleft( x right){rm{ }} + {rm{ }}c} right){rm{ }} = {rm{ }} fleft( x right){rm{ }} = {rm{ }}fleft( x right),{rm{ }}forall x{rm{ }} in {rm { }}left( {a,{rm{ }}b} right))

⇒ f + c là nguyên hàm của f trong (a,b)

ii) (left[ {gleft( x right){rm{ }} – {rm{ }}fleft( x right)} right]{rm{ }} = {rm{ }}gleft( x right){rm{ }} – {rm{ }}fleft( x right){rm{ }} = {rm{ }}f left( x right){rm{ }} – {rm{ }}fleft( x right){rm{ }} = {rm{ }}0,{rm{ }} forall x{rm{ < }}left( {a,b} right){rm{ }})

(rightarrow {rm{ }}exists c in {rm{ }}r{rm{ }}:{rm{ }}gleft( x right){rm{ }} – {rm{ }}fleft( x right){rm{ }} = {rm{ }}c,{rm{ }}forall x{rm{ }} in { rm{ }}left( {a,b} right))

(rightarrow {rm{ }}gleft( x right){rm{ }} = {rm{ }}fleft( x right){rm{ }} + { rm{ }}c,{rm{ }}forall x{rm{ }} in {rm{ }}left( {a,b} right))

Ghi chú:

Nếu thay (a,b) bởi [a,b] thì định lý trên vẫn đúng, nếu f có một nguyên hàm thì f có vô số nguyên hàm và hai nguyên hàm bất kỳ của cùng một hàm thì có hiệu là một số dòng.

Định nghĩa:

Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f trên [a,b] được gọi là tích phân bất định của f trên [a, b], được biểu diễn dưới dạng: (int {f(x)dx}) . nếu f là một nguyên hàm của f thì

(int {f(x)dx} = left{ {f(x) + c/c in r} right})

Viết tắt: (int {f(x)dx} = f(x) + c)

Với f,g là các hàm có (a,b) nguyên hàm. Sau đó:

(i),,frac{d}{{dx}}int {f(x)dx = } left( {int {f(x)dx} } right)’ = f(x))

(ii),,dint {f(x)dx} = f(x)dx)

(iii),,int {left( {f(x) pm g(x)} right)dx} = int {f(x)dx} pm int {g (x)dx})

(iv),,int {kf(x)dx} = kint {f(x)dx,k in r})

Kết quả: (int {sumlimits_{i = 1}^n {{k_i}} } {f_i}(x)dx = sumlimits_{i = 1}^n { {k_i}int {{f_i}(x)dx} })

v) Nếu (f'(x)=f(x)) thì

Xem Thêm: Nhân nghĩa là gì? Tìm hiểu tư tưởng nhân nghĩa trong Nho giáo?

(int {f'(x)dx} = int {df(x) = f(x) + c = int {f(x)dx} })

Và (int {f(y)dy = f(y) + c,,} int {f(t)dt = f(t) + c,,} ….)

Chứng minh: Để bạn đọc tham khảo (suy ra từ tính chất của đạo hàm).

(1.,,int {odx = c})

(2.,,int {adx = ax + c})

(3.,,int {{x^n}dx = frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + c} ,, (n ne – 1))

(4.,,int {frac{{dx}}{x}} = ln left| x right| + c)

Vì ((ln left| x right| + c)’ = left{ begin{array}{l} (ln )’,,,,,, ,,,,,,,(x > 0)\ left[{ln ( – x)} right]’,,,,(x 0)\ – frac{1}{{ – x}} = ,frac{1}{x},,(x < 0) end{ mảng} right .= frac{1}{x},x ne 0 )

(5.,int {{e^x}} dx = {e^x} + c)

(6.,int {{a^x}} dx = frac{{{a^x}}}{{ln a}} + c)

Xem Thêm : Beethoven Là Người Nước Nào

(7.,int {{mathop{rm sinx}nolimits} } dx = – cos x + c)

(8.,int {cosx} dx = sin x + c)

(9.,int {frac{{dx}}{{{cos }^2}x}} = int {(1 + t{g^2}x)dx} } = tgx + c)

(10.,int {frac{{dx}}{{{sin }^2}x}} = int {(1 + cot{g^2}x)dx} } = – cotgx + c)

(11.,int {frac{{dx}}{{1 + {x^2}}} = arcsin x} + c)

(12.,int {frac{{dx}}{{{x^n}}} = int {{x^{ – n}}dx = frac{{{x^{ ) – n + 1}}}}{{ – n + 1}}} } + c = frac{1}{{(n – 1){x^{n – 1}}}} + c, , (n ne 1))

(13.,int {frac{{dx}}{{{x^n}}}} int {{x^{ – n}}dx = frac{{{x^{ ) – n + 1}}}}{{ – n + 1}}} + c = frac{{ – 1}}{{(n – 1){x^{n – 1}}}} + c , ,(n ne 1))

(int {frac{{dx}}{{2sqrt x }}} = sqrt x + c)

(14.,int {tgxdx = int {frac{{{mathop{rm sinx}nolimits} }}{{cos x}}dx} } = int {frac {{ – d(cos x)}}{{cos x}}} = – ln left| {cos x} right| + c)

(15.,int {cotgxdx = int {frac{{cosx}}{{sin x}}dx} } = int {frac{{d(sin x)}} {{sin x}}} = ln left| {sin x} right| + c)

(16.int {frac{{dx}}{{sqrt {{a^2} – {x^2}} }}} = arcsin frac{x}{{left| right|}} + c)

(17.int {frac{{dx}}{{{a^2} – {x^2}}}} = frac{1}{a}{mathop{rm arctg} nolimits} frac{x}{a} + c)

(18.int {frac{{dx}}{{sqrt {{x^2} + b} }}} = ln left| {x + sqrt {{x^2} + b} } right| + c)

(19.int {frac{{dx}}{{{x^2} – {a^2}}}} = frac{1}{{2a}}ln left| { frac{{x – a}}{{x + a}}} right| + c,,,(a ne 0))

(20.int {frac{{dx}}{{(x – a)(x – b)}}} = frac{1}{{b – a}}ln left| {frac{{x – b}}{{x – a}}} right| + c,,,(a ne b))

(21.int {sqrt {{a^2} – {x^2}} } dx = frac{x}{2}sqrt {{a^2} – {x^2} } + frac{{{a^2}}}{2}arcsin frac{x}{{left| a right|}} + c,,(a ne 0))

(22.int {sqrt {{a^2} + {x^2}} } dx = frac{x}{2}sqrt {{a^2} + {x^2} } + frac{{{a^2}}}{2}ln left| {x + sqrt {{a^2} + {x^2}} } right| + c)

(a.,,int {frac{{{x^4} – 5{x^3} – {x^2} + 3x + 7}}{{{x^2} + 1}}} dx)

(= int {left( {{x^2} – 5x – 2 + frac{{8x + 9}}{{{x^2} + 1}}} right)} dx = frac{{{x^3}}}{3} – frac{{5{x^2}}}{2} – 2x + int {left( {frac{{8x + 9}}{ {{x^2} + 1}}} right)} dx)

(= frac{{{x^3}}}{3} – frac{{5{x^2}}}{2} – 2x + int {frac{{4.2xdx}} {{{x^2} + 1}} + 9int {frac{{dx}}{{{x^2} + 1}}} })

(= frac{{{x^3}}}{3} – frac{{5{x^2}}}{2} – 2x + 4int {frac{{d({ ) x^2} + 1)}}{{{x^2} + 1}}} + 9arctgx)

(= frac{{{x^3}}}{3} – frac{{5{x^2}}}{2} – 2x + 4ln ({x^2} + 1 ) ) + 9arctgx + c)

(b.,int {({x^2} + x} )sqrt {xsqrt x } dx = int {({x^2}} + x){x^{ frac{1}{2}}}{x^{frac{1}{4}}}dx)

Xem Thêm: Thư xin việc cho sinh viên mới ra trường viết như thế nào?

(= int {left( {{x^{left( {2 + frac{3}{4}} right)}} + {x^{left( {2 + frac ) {3}{4}} right)}}} right)} dx = int {left( {{x^{frac{{11}}{4}}} + {x^{frac {) 7}{4}}}} right)} dx)

(= frac{4}{{15}}{x^{frac{{15}}{4}}} + frac{4}{{11}}{x^{frac{ ) {11}}{4}}} + c)

(c.int {{e^{3x}}} 7xdx = {int {left( {{e^3}7} right)} ^x}dx = frac{{{{ left( {{e^3}7} right)}^x}}}{{ln ({e^3}7)}} = frac{{{e^{3x}}{7^x }}}{{3 + ln 7}} + c)

(d.int {frac{{dx}}{{x + a}}} = int {frac{{d(x + a)}}{{x + a}}} = ln left| {x + a} right| + c)

(e.int {frac{{{mathop{rm sinxdx}nolimits} }}{{{cos }^3}x}}} = int {frac{{tgxdx ) }}{{{{cos }^2}x}}} = int {tgx,d(tgx) = frac{{t{g^2}x}}{2}} + c)

(f.int {frac{{dx}}{{{{(x – sqrt {{x^2} + 1} )}^2}}}} = int {frac{ {left( {x + sqrt {{x^2} + 1} } right)}}{{{left[ {{x^2} – ({x^2} + 1)} right ]}^2}}}} dx = int {left( {{x^2} + 2xsqrt {{x^2} + 1} + {x^2} + 1} right)dx} )

(= 2frac{{{x^3}}}{3} + x + int {{u^{frac{1}{2}}}} du = 2frac{{{ ) x^3}}}{3} + xfrac{{{u^{frac{1}{2} + 1}}}}{{frac{1}{2} + 1}} + c = frac{2}{3}{x^3} + x + frac{2}{3}{({x^2} + 1)^{frac{3}{2}}} + c )

(g.int {frac{{dx}}{{{x^2} – {a^2}}}} = int {frac{{dx}}{{(x – a ) )(x + a)}}} = frac{1}{{2a}}int {frac{{(x + a) – (x – a)}}{(x – a)(x + a)}}dx})

(= frac{1}{{2a}}int {left( {frac{1}{{x – a}} – frac{1}{{x + a}}} ” phải)} dx = frac{1}{{2a}}left[ {ln left| {x – a} right|} right] – left[ {ln left| {x + } right|} right] + c)

(= frac{1}{{2a}}ln left| {frac{{x – a}}{{x + a}}} right| + c,,(a )ne 0))

(h.,int {t{g^2}} xdx = int {left( {t{g^2}x + 1 – 1} right)dx = tgx – x + c })

(i.,int {t{g^5}} xdx = int {left( {t{g^5}x + t{g^3}x – t{g^3} x + tgx – tgx}right)dx})

( = int {t{g^3}} x(t{g^2}x + 1)dx – int {tgx} (t{g^2}x + 1)dx + int {tgxdx = frac{{t{g^4}x}}{4} – } frac{{t{g^2}x}}{2} – ln left| {cos x} right | + c)

A. Giả sử f là một hàm nguyên hàm trên miền d.

Cho (x = varphi (t)), trong đó (varphi) là một hàm khả vi đơn điệu của khoảng (varphi(t)) chứa trong các biến t và d. Sau đó;

(int {f(x)dx = int {f(varphi (t))varphi ‘(t)} } dt)

Ví dụ:

1) (i = int {frac{{sin sqrt[3]{x}}}{{sqrt[3]{{{x^2}}}}} dx. )

Đặt (x = {t^3} rightarrow dx = 3{t^2}dt,sqrt[3]{{{x^2}}} = {t^2},sqrt[3 ]{x} = t)

(rightarrow i = int {frac{{(sin t)3{t^2}dt}}{{{t^2}}}} = int {3sin tdt = – 3{mathop{rm cost}nolimits} + c = – 3cossqrt[3]{x}} + c)

2) (i = int {sqrt {{a^2} – {x^2}} } dx,,(a > 0,{a^2} – {x^2} ge 0 leftrightarrow – a le x le a))

Xem Thêm : Cách phục chế ảnh trắng đen thành ảnh màu bằng smartphone và máy tính

Đặt (x = asin t, – frac{pi }{2} le t le frac{pi }{2} rightarrow dx = a{mathop{rm costdt} nolimits}) và (sin t = frac{x}{a})

(rightarrow i = int {sqrt {{a^2} – {x^2}} dx = int {sqrt {{a^2} – {a^2}{{sin }^2}t} a,cos ,tdt} } )

(= int {asqrt {{{cos }^2}t} acos ,tdt} = int {{a^2}} left| {cos ,t} right|cos ,t,dt = int {{a^2},{{cos }^{2,}}tdt})

(= int {frac{{{a^2}(1 + cos ,2t)}}{2}dt} = frac{{{a^2}}}{2}t + frac{{{a^2}}}{4}sin 2t + c)

(= frac{{{a^2}}}{2}arcsin frac{x}{a} + frac{{{a^2}}}{4}2sin , t,cos,t, + c = frac{{{a^2}}}{2}arcsin frac{x}{a} + frac{{{a^2}}}{2 }.frac{x}{a}sqrt {1 – frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} + c)

(= frac{{{a^2}}}{2}arcsin frac{x}{a} + frac{x}{2}sqrt {{a^2} – {x ^2}} + c)

Giả sử u = h(x) và h khả vi liên tục, ta có:

(int {g(h(x))h'(x)dx = int {g(u)du} })

Cho u = u(x), v = v(x) là các hàm đạo hàm liên tục khả vi. Sau đó (int {udv = uv – int {vdu} })

Bằng chứng:

Ta có: (d(uv) = vdu + udv rightarrow int {d(uv) = int {udv + int {vdu} } })

Suy ra (int {udv = uv – int {vdu} })

Xem Thêm: Sách giáo khoa ngữ văn lớp 9 tập 1

Thông thường để tính (int {f(x)dx}), ta phân tích: (f(x)dx = udv) tích phân (int {vdu} ) và ( int {dv})

Nhận xét:

• Biểu thức (int {p(x)left[ begin{array}{l} {e^x}\ cos x\ {mathop{rm sinx}nolimits} end{array} right]} dx ).Đặt u = p(x) và (dv = left[ begin{array}{l} {e^x}\ cos x\ { mathop{rm sinx}nolimits} end{array } right]dx ) có dạng (int {p(x)left[ begin{array}{l} ln x\ arctgx \ arcsinx end{array} right]} dx. ) set (u = left[ begin{array}{l} ln x\ arctgx\ arcsinx end{array} right], dv = p(x)dx )

Ví dụ:

a) (int {{x^2}{e^x}dx}). Đặt (u = {x^2} rightarrow du = 2xdx)

(dv = {e^x}dx), chọn(v=e^x)

Như vậy: (int {{x^2}} {e^x}dx = uv – int {vdu} = {x^2}{e^x} – int {2x{e^x }} dx)

Đặt (u = 2x rightarrow du = 2dx;dv = {e^x}dx) chọn (v=e^x)

( rightarrow int {{x^2}} {e^x}dx = {x^2}{e^x} – left[ {2x{e^x} – int {2{ e^x}dx} } right] = {x^2}{e^x} – 2x{e^x} + 2{e^x} + c)

Chung:

(int {{x^n}{e^x}} dx = {x^n}{e^x} – n{x^{n – 1}}{e^x} + n( n – 1){x^{n – 2}}{e^x} + … + {( – 1)^{n – 1}}n!x{e^x} + {( – 1)^ n}n!{e^x} + c)

b) (i = int {{x^3}} {mathop{rm sinxdx}nolimits} )

Đặt (u = {x^3} rightarrow du = 3{x^2}dx.,,dv = {mathop{rm sinxdx}nolimits}) chọn v = -cosx

(rightarrow i = – {x^3}cos x + int {3{x^2}} cos xdx)

(= – {x^3}cos x + 3{x^2}sin – int {6x} sin xdx)

(= – {x^3}cos x + 3{x^2}sin + 6xcosx – int {6cos } xdx)

(= – {x^3}cos x + 3{x^2}sin + 6xcosx – 6sin x + c)

c) (i = int {x,arctg,xdx} )

Đặt (u = arctgx, rightarrow du = frac{{dx}}{{1 + {x^2}}})

(dv = xdx,v = frac{1}{2}({x^2} + 1))

(rightarrow i = frac{1}{2}({x^2} + 1)arctgx – int {frac{1}{2}} ({x^2} + 1) frac{1}{{1 + {x^2}}}dx = frac{1}{2}({x^2} + 1)arctgx – frac{x}{2} + c)

d) (int {sqrt {{a^2} – {x^2}} } dx(a > 0))

Đặt (u = sqrt {{a^2} – {x^2}} rightarrow du = frac{{ – 2xdx}}{{2sqrt {{a^2} – {x^ ) 2}} }} = – frac{{xdx}}{{sqrt {{a^2} – {x^2}} }})

(rightarrow i = xsqrt {{a^2} – {x^2}} – int { – frac{{{x^2}dx}}{{sqrt {{a^ 2} – {x^2}} }}} = xsqrt {{a^2} – {x^2}} – int {frac{{ – {x^2} + {a^2} – {a^2}}}{{sqrt {{a^2} – {x^2}} }}dx})

(rightarrow 2i = xsqrt {{a^2} – {x^2}} + {a^2}int {frac{{dx}}{{sqrt {{a^2 } – {x^2}} }}})

(rightarrow i = frac{x}{2}sqrt {{a^2} – {x^2}} + frac{{{a^2}}}{2}arcsin Điểm {x}{a} + c)

Tương tự: (j = int {sqrt {{a^2} + {x^2}} } dx)

Will (u = sqrt {{a^2} + {x^2}} rightarrow du = frac{{xdx}}{{sqrt {{a^2} + {x^2} } }},dv = dx) chọn v = x

Ta có:

(j = xsqrt {{a^2} + {x^2}} – int {frac{{{x^2}dx}}{{sqrt {{a^2} + {x^2}} }}} = xsqrt {{a^2} + {x^2}} – int {frac{{{x^2} + {a^2} – {a^2 }}}{{sqrt {{a^2} + {x^2}} }}} dx)

(rightarrow 2j = xsqrt {{a^2} + {x^2}} + {a^2}int {frac{{dx}}{{sqrt {{a^2 } + {x^2}} }}})

(rightarrow j = frac{1}{2}xsqrt {{a^2} + {x^2}} + frac{{{a^2}}}{2}int {frac{{dx}}{{sqrt {{a^2} + {x^2}} }}})

(= frac{x}{2}xsqrt {{a^2} + {x^2}} + frac{{{a^2}}}{2}ln left( {x + sqrt {{a^2} + {x^2}} } right) + c)

Trên đây là nội dung bài giảng Nguyên hàm tích phân không xác định được bài giảng 1: tích phân bất định – elib tổng hợp nhằm giúp các em có thêm tài liệu tham khảo. Hi vọng đây sẽ là tài liệu giúp các bạn nắm bắt nội dung môn học dễ dàng hơn.