Hàm Số Bậc 2 Và Ứng Dụng Trong Giải Toán

Hàm số là một phần không thể thiếu trong các khóa học toán đại số. Vì vậy, hôm nay Master Ant muốn gửi đến bạn bài viết về Hàm bậc hai. Bài viết này vừa tóm tắt lý thuyết vừa đưa ra các bài tập áp dụng một cách rõ ràng và dễ tiếp cận. Đây cũng là kiến ​​thức khá cơ bản giúp bạn có thể vượt qua các đề thi học kì, kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia. Hãy cùng nhau tìm hiểu nhé:

Bạn Đang Xem: Hàm Số Bậc 2 Và Ứng Dụng Trong Giải Toán

Tôi. Hàm số bậc hai – lý thuyết cơ bản.

Cho hàm số bậc 2:

– tập xác định d=r – khả biến:

a>0: hàm số nghịch biến trong khoảng và đồng biến trong khoảng

Bảng biến thiên khi a>0:

a<0: hàm số đồng biến trong khoảng và nghịch biến trong khoảng Bảng biến thiên khi a<0:

Đồ thị:- là một parabol (p) có các đỉnh là:

Biết:

– Trục đối xứng x=-b/2a. – nếu a>0 thì mặt lõm của parabol hướng lên và ngược lại, khi a<0

thì mặt lõm của parabol hướng xuống

Hai. Vận dụng hàm số bậc hai để giải toán.

Các dạng bài tập liên quan đến khảo sát hàm số bậc hai.

Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1. y=3×2-4x+1
2. y=-x2+4x-4

Hướng dẫn:

Xem Thêm: 500 tên hay cho bé gái độc, lạ, may mắn nhất năm 2022

1. y=3×2-4x+1

-tập hợp các định nghĩa: d=r

– Khả năng thay đổi:

• Vì 3>0 nên hàm số đồng biến trên (⅔;+∞) và nghịch biến trên (-∞;⅔).
• Vẽ bảng thay đổi:



Xem Thêm : Mục đích học tập của học sinh là gì? Ý nghĩa và tầm quan trọng

Biểu đồ:

• Tọa độ đỉnh: (⅔ ;-⅓ )
• Trục đối xứng: x=⅔
• Giao điểm của đồ thị và trục hoành: giải phương trình y=0⇔3×2-4x+1=0, được x=1 hoặc x=⅓. Vậy giao điểm là (1,0) và (⅓ ;0)
• Giao điểm của đồ thị với trục tung: với x=0, y=1 được suy ra. Vậy giao điểm là (0;1)
• Nhận xét: Đồ thị của hàm số là một parabol có phần lõm hướng lên trên.

2. y=-x2+4x-4

Bộ định nghĩa: d=r

Khả năng thay đổi:

• Vì -1<0 nên hàm số đồng biến trên (-∞;2) và nghịch biến trên (2;+∞).
• Vẽ bảng thay đổi:



Xem Thêm : Mục đích học tập của học sinh là gì? Ý nghĩa và tầm quan trọng

Biểu đồ:

• Tọa độ đỉnh: (2,0)
• Trục đối xứng x=2.
• Giao điểm của đồ thị và trục hoành: Giải phương trình tọa độ giao điểm y=0⇔-x2+4x-4=0, được x=2. Tìm giao điểm (2,0)
• Giao điểm của biểu đồ và trục tung: x=0, suy ra y=-4. Vậy giao điểm là (0;-4).



• Nhận xét: Đồ thị của hàm số là một parabol có một mặt lõm.

Ví dụ 2: Hãy xác định các hệ số a, b, c sao cho đồ thị © hàm số y=ax2+bx+c: © đi qua các điểm (-1;4 ) và có (-2;1) đỉnh?

Hướng dẫn:

Nhận xét chung: Để giải dạng bài toán này ta cần nhớ:

• Một điểm (x0;y0) thuộc hàm số y=f(x) khi và chỉ khi y0=f(x0)
• Đỉnh của hàm bậc hai: dạng của y=ax2+bx+c là:



với :

Xem Thêm: Top 13 mẫu kể về một việc tốt mà em đã làm

Từ các nhận xét trên ta có:

• (-1;4) ∈ © , nên 4=a-b+c
• (-2;1) ∈ ©, suy ra: -1=4a-2b+c
• (-2;1) là một đỉnh của © nên: -b/2a=-2 ⇒ 4a-b=0

Kết hợp 3 thứ trên lại thì có hệ thống sau:



Vậy hàm cần tìm là: y=5×2+20x+19

Các dạng bài tập tương tác với đồ thị hàm số bậc hai và hàm số bậc hai

Phương pháp giải bài toán giao tuyến của hai đồ thị bất kỳ, chẳng hạn như (c) và (c’):

• Tìm giao điểm của (c) và (c’)
• Giải thích tìm x. Tọa độ giao điểm chính là giá trị x vừa tìm được.
• Số nghiệm x là số giao điểm giữa (c) và (c’).

Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y=x2+2x-3 và trục hoành.

Hướng dẫn:

Phương trình hàm thứ nhất: y= x2+2x-3.

Phương trình của trục hoành là y=0.

Xem Thêm : Soạn bài Điệp ngữ siêu ngắn | Ngữ văn lớp 7

Phương trình tọa độ giao điểm: x2+2x-3=0 ⇔ x=1 ∨ x=-3.

Vậy đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại các giao điểm (1;0) và (1;-3).

Ví dụ 2: Cho hàm số y= x2+mx+5 có đồ thị (c). Xác định tham số m để đồ thị (c) tiếp xúc với đường thẳng y=1?

Hướng dẫn:

Phương trình tọa độ giao điểm: x2+mx+5=1 ⇔ x2+mx+4=0 (1)

Để (c) tiếp xúc với đường thẳng y=1 thì phương trình (1) phải có nghiệm kép.

Xem Thêm: Bài 34,35,36,37,38 trang 17 SGK toán 8 tập 1

Suy ra: ∆=0 ⇔ m2-16=0 ⇔ m=4 hoặc m=-4.

Vậy ta có hai hàm số thỏa mãn điều kiện y= x2+4x+5 hoặc y=x2-4x+5

Ví dụ 3: Cho hàm bậc hai y=x2+3x-m có đồ thị (c). Xác định giá trị của m để đồ thị (c) cắt đường thẳng y=-x tại 2 điểm phân biệt có tọa độ âm?

Hướng dẫn:

Chú ý: Chúng ta sử dụng quan hệ Việt Nam trong trường hợp này. Xét phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 có hai nghiệm x1, x2. Khi đó hai nghiệm thỏa mãn hệ thức:



Ta lập phương trình tọa độ giao điểm: x2+3x-m=-x ⇔x2+4x-m=0 (1)

Để (c) cắt đường thẳng y=-x tại 2 điểm có tọa độ âm khác nhau thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm âm khác nhau.

• Điều kiện có hai nghiệm khác nhau: Δ>0 ⇔ 16+4m>0 ⇔m>;-4.
• Điều kiện để cả hai nghiệm đều âm:



Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi 0>m>-4.

Ba. Một số bài tập tự luyện về hàm số bậc hai.

Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1. y=x2+2x-3
2. y=2×2+5x-7
3. y=-x2+2x-1

Bài tập 2: Hàm số y=2×2+3x-m có đồ thị (cm). Đối với hàng d: y=3.

1. Khi m=2, hãy tìm giao điểm của (cm) và d.
2. Xác định giá trị của m để đồ thị (cm) tiếp tuyến với đường thẳng d.
3. Xác định giá trị của m sao cho (cm) cắt d tại 2 điểm phân biệt có tọa độ đối nhau.

Gợi ý:

Bài tập 1: Làm theo các bước trong ví dụ trên.

Bản nhạc 2:

1. Giải phương trình tọa độ giao điểm, giao điểm là (1;3) và (-5/2;3)
2. là điều kiện tiếp điểm để phương trình tọa độ giao điểm có nghiệm kép hoặc Δ=0.
3. Dấu nghịch đảo nằm ngang tại x1x2<0 ⇔ -m-3-3

Trên đây là bản tóm tắt của Ant guru về hàm bậc hai. Hi vọng qua bài viết này các em sẽ ôn tập, củng cố kiến ​​thức đã học, đồng thời rèn luyện óc tìm tòi, hình thành lời giải cho từng bài toán. Học tập là một quá trình tích lũy và thử nghiệm không ngừng. Để biết thêm nhiều điều bổ ích, mời các bạn tham khảo thêm các bài viết khác trên trang Ant Master. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!