Có thể bạn quan tâm
- Soạn bài Miêu tả và biểu cảm trong văn bản tự sự
- Hóa 10 Bài 7 Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều
- Văn mẫu lớp 8: Thuyết minh về cách làm một món ăn mà em yêu thích (12 mẫu) Thuyết minh cách làm món ăn yêu thích
- Truyện cười là gì, phân loại truyện cười
- Đội thành lập ngày nào? Ngày thành lập Đội Thiếu niên Tiền Phong Hồ Chí Minh
Ở đại số phổ thông, chúng ta chỉ học một loại phương trình bậc hai đặc biệt. Đó là phương trình bậc hai. Tuy nhiên trong các đề thi đại học dạng phương trình có xu hướng mở rộng và trở về dạng phương trình bậc hai và các phương trình bậc hai này không phải là dạng bậc hai dưới đây xin giới thiệu dạng phương trình ${x^4} + a Lời giải của phương trình nguyên tố {x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$ trong đó $a,b,c,d$ là các số thực khác 0: 1. Các phép biến đổi logic và sáng tạo trong nhiều trường hợp cụ thể2. Phương pháp hệ số bất định để nhân tử đa thức 3. Công thức tổng quát nghiệm phương trình bậc hai 4. Phương pháp đồ thị. Phương pháp:1. Thay đổi hợp lý và sáng tạo trong những hoàn cảnh nhất định. Ví dụ 1. Giải phương trình ${left( {{x^2} – a} right) ^2} – 6{x ^2} + 4x + 2a = 0 $ (1) Giải phương trình (1) dưới dạng ${x^4} – 2a{x^2} + {a^2} – 6 {x^2} + 4x + 2a = 0$ hoặc ${x^4} – left( {2a + 6} right){x^2} + 4x + {a^ 2} + 2a = 0$ ( 2) Phương trình (2) là một phương trình bậc hai đối với x Các phương trình bạn chưa học cách giải. Nhưng chúng ta có thể viết phương trình (1) dưới dạng ${a^2} – 2left( {{x^2} – 1} right)a + {x^4} – 6{x^2} + 4x = 0 $(3) và coi (3) là phương trình bậc hai của a. Với quan điểm này, ta tìm được a đối với x: ${a_{1,2}} = {x^2} – 1 pm sqrt {{x^4} – 2{x^2} + 1 – x { }^4 + 6{x^2} – 4x} $$begin{array} = {x^2} – 1 pm sqrt {4{x^2} – 4x + 1} \ = {x ^ 2} – 1 pm left( {2x – 1} right) \ end{array} $ giải x ${x^2} + 2x – a – 2 = 0$ (4) và $ {x^ 2} – 2x – a = 0$ (5) Ta tìm nghiệm (1) theo a. Điều kiện của (4) là $3 + a geqslant 0$ và nghiệm của (4) là ${x_{1,2}} = – 1 pm sqrt {3 + a} $ Điều kiện của (5) là $1 + Nghiệm của geqslant 0$, nghiệm của (5) là ${x_{3,4}} = 1 pm sqrt {1 + a} $ví dụ 2 . Giải phương trình ${x^4} – {x^3} – 5{x^2} + 4x + 4 = 0$ (1)Giải: Phương trình (1) được viết dưới dạng: $ begin{array} {x^4} – {x^3} – {x^2} – left( {4{x^2} – 4x – 4} right) = 0 \ { x^2} left( {{x^ 2} – x – 1} right) – 4left( {{x^2} – x – 1} right) = 0 \ left( {{x^2} – 4} right)left ( {{x^2} – x – 1} right) = 0 \ end{array} $ Vậy (1) có 4 nghiệm ${x_1} = – 2;{x_2} = 2;{x_3} = frac{{1 – sqrt 5 }}{2};{x_4} = frac{{1 + sqrt 5 }}{2}.$
Bạn Đang Xem: Các dạng phương trình bậc 4 và cách giải
Ví dụ 3. Giải phương trình $32{x^4} – 48{x^3} – 10{x^2} + 21x + 5 = 0$ (1) Lời giải : Ta viết (1) dưới dạng: $2left( {16{x^4} – 24{x^3} + 9{x^2}} right) – 7left( {4 {x ^ 2} – 3x} right) + 5 = 0$ và nhập: $y = 4{x^2} – 3x$ sau đó (1) chuyển đổi thành $2{y^2} – 7y + 5 = 0$ từ đó $ {y_1} = 1$ và ${y_2} = frac{5}{2}$ giải phương trình bậc hai sau cho x (thay ${y_1} = 1$ và ${y_2} = frac{5} { 2 }$ đến $y = 4{x^2} – 3x$ ): $4{x^2} – 3x – 1 = 0$ và $8{x^2} – 6x – 5 = 0$ ta được (1 ) giải pháp. Ví dụ 4. Giải phương trình $2{x^4} + 3{x^3} – 16{x^2} + 3x + 2 = 0$ (1)Lời giải: Đây là phương trình bậc hai (và phương trình hồi quy khi $frac{e}{a} = {left( {frac {d}{b}} right)^2}$ ) Với phương trình này, chúng ta giải pháp như sau: chia cả hai vế của phương trình cho ${x^2}$ (khác 0), thì (1) tương đương với $2 {x^2} + 3x – 16 + frac{ 3}{x } + frac{ 2}{{{x^2}}} = 0$ hoặc $2left( {{x^2} + frac {1}{{{x^2}}}} right) + 3le ft( {x + frac{1}{x}} right) – 16 = 0$ Đặt $y = x + frac{1}{x}$ Thì ${y^2} – 2 = {x^ 2} + frac{1}{{{x^2}}}$ Phương trình (1) chuyển thành: $2left( {{y^2} – 2} right) + 3y – 16 = 0 $ hoặc $2{ y^2} + 3y – 20 = 0$ Phương trình này có nghiệm ${y_1} = – 4,{y_2} = frac{5}{2}$ Vậy $x + frac{ 1} {x } = – 4$ và $x + frac{1}{x} = frac{5}{2}$ tức là ${x^2} + 4x + 1 = 0$ và $2{x ^2} – 5x + 2 = 0$ từ đó tìm được nghiệm của (1) là: ${x_{1,2}} = – 2 pm sqrt 3 ,{x_3} = frac{1} {2}, {x_4 } = 2$ . Do đó kết hợp các ví dụ 2, 3, 4 ta giải được phương trình bậc 4 khi biết biến đổi sáng tạo vế trái của phương trình, để được phương trình quen thuộc và nghiệm của phương trình. 2. Đa thức nhân tử sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ví dụ 5. Giải phương trình: ${x^4} + 4{x^3} – 10{ x^2} + 37x – 14 = 0$ (1) Giải pháp: Hãy thử tách vế trái thành hai thừa số bậc hai ${x^2} + px + q$ và ${x^2} + rx + s$, trong đó $p,q, r, s$ là các hệ số nguyên không xác định. Ta có: ${x^4} + 4{x^3} – 10{x^2} + 37x – 14 = left( {{x^2} + px + q} right)left( {{ x^2} + rx + s} right)$ (2) Tích hệ số của các số hạng có cùng bậc ở cả hai vế của đẳng thức để được hệ phương trình sau $left{ begin{array} p + r = – 4 \ s + q + pr = – 10 \ ps + qr = 37 \ qs = – 14 \ end{array} right.$ Nhờ phương trình cuối của hệ này mà ta đoán được rằng q và s có thể nhận các giá trị nguyên tương ứng. Thử lần lượt các giá trị của q ta thấy $q = 2, s = – 7$ Phương trình thứ hai và thứ ba của hệ trên cho ta hệ phương trình mới $left{ begin{array} pr = – 5 \ – 7p + 2r = 37 \ end{array} right.$ Xóa $p$ để được $2{r^2} – 37r + 35 = 0$ Phương trình này có nghiệm nguyên của $r$ là 1 . Vậy ta suy ra $p = – 5$ thay vì các giá trị $p,q,r,s$ tìm được ở (2) thì: ${x^4} + 4{x^ 3 } – 10{x^ 2 } + 37x – 14 = left( {{x^2} – 5x + 2} right)left( {{x^2} + x – 7} right)$ Phương trình (1) Cho $left ( {{x^2} – 5x + 2} right)left( {{x^2} + x – 7} right) = 0$ Giải phương trình tích này ta được nghiệm sau của (1): $ x = frac{{5 pm sqrt {17} }}{2};x = frac{{ – 1 pm sqrt {29} }}{2}$ Lưu ý:
Xem Thêm : Bazơ Và Những Điều Cần Biết Về Bazơ
Trong một số trường hợp chúng ta không thể sử dụng cách này vì đôi khi phép phân tích trên không như ý muốn của chúng ta, chẳng hạn khi hệ trên không có nghiệm nguyên. 3. Giải pháp chung của phương trình bậc hai Mục tiêu của chúng ta là phân tích đa thức ${x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ thành hai nhân tử bậc hai bằng cách sử dụng ẩn phụ h, ta biến đổi như sau: $fleft( x right) = {left( {{x^2} + frac{1}{2}ax + frac{1 }{2}h} right )^2} + b{x^2} + cx + d – frac{1}{4}{a^2}{x^2} – frac{1}{4 }{h^2} – h {x^2} – frac{1}{2}ahx$ $fleft( x right) = {left( {{x^2} + frac{1} {2}ax + frac { 1}{2}h} right)^2} – left[ {left( {h + frac{1}{4}{a^2} – b} right ){x^2} + left( {frac{1}{2}ah – c} right)x + left( {frac{1}{4}{h^2} – d} right )} right]$ ( 2 ) Tam giác trong ngoặc có dạng: $a{x^2} + bx + c$ $a{x^2} + bx + c$ có thể viết là: $a {x^2} + bx + c = { left( {px + q} right)^2}$ (3) Khi và chỉ khi ${b^2} – 4ac = 0$ hoặc $4ac – {b^2} = 0$ ta nhận được: $4 left( {h + frac{1}{4}{a^2} – b} right)left( {frac{1}{4}{h^2} – d} right) – { left( {frac{1}{2}ah – c} right)^2} = 0$ Đây là $h$ Phương trình bậc ba của nến phải có ít nhất một nghiệm số thực. Giả sử giải pháp là $h = 1$. (Chúng ta có thể lập nghiệm của phương trình bậc ba của Cardano (nhà toán học người Ý) ${x^3} + p{x^2} + q = 0$(*), thông qua các hệ số của phương trình bậc ba bất kỳ: ${a_0} {y^3} + {a_1}{y^2} + {a_2}y + {a_3} = 0,{a_0} ne 0$ có thể được đưa ra ở dạng (*) nhờ Biến đổi chưa biết $y = x – frac{{{a_1}}}{{3{a_0}}}$ Công thức được viết là: $x = sqrt[3] {{ – frac{q}{2} + sqrt { frac {{{q^2}}}{4} + frac{{{p^3}}}{{27}}} }} + sqrt[3]{{ – frac{q }{2 } – sqrt {frac{{{q^2}}}{4} + frac{{{p^3}}}{{27} }} }}$ trong đó mỗi căn bậc ba có ba giá trị, nhưng bạn phải chọn để thêm cặp giá trị với sản phẩm $-frac{p}{3}$) thì (2) được viết là: $fleft( x right) = {left( {{x^2 } + frac{1}{2}ax + frac{1}{2}t} right) ^2} – {left( {px + q} right)^2 }$ (4) Vậy: $f left( x right) = left( {{x^2} + frac{1} {2}ax + frac{1}{2}t + px + q } right)left( {{x ^2} + frac{1}{2}ax + frac{1}{2} t – px + q} right) = 0$ Từ đó: ${x ^2} + left( {frac {1}{2}a + p} right)x + frac{1}{2}t + q = 0$ hoặc ${x^2} + left( {frac{1}{ 2}a – p} right)x + frac{1}{2}t – q = 0$ Giải hai phương trình bậc hai này, ta được tập nghiệm của (1): ${x_{1,2} } = – frac{1}{2 } left( {frac{1}{2}a + p} right) pm sqrt {{{left( {frac{1}{2}a + p} phải)}^2} – 4q – 2t} $ và ${x_{3,4}} = – frac{1 }{2}left( {frac{1}{2}a – p} right) pm sqrt { { {left( {frac{1}{2}a – p} right)} ^2} + 4q – 2t} $ Ví dụ 6. Giải phương trình: ${x^ 4} – {x^3} – 7{x^2} + x + 6 = 0$Giải pháp: Theo công thức (3), $h$: $4left( {h + frac {{29}}{4}} right)left( {frac{1}{ 4 {h^2} – 6} right) – {left( { – frac{ 1}{2} h – 1} right)^2} = 0$ nghĩa là ${h^3} + 7 { h^2} – 25h – 175 = 0$ Ta tìm được nghiệm thực của phương trình $h$ là $h = 5$ theo (3) và $h = t = 5, a = – 1,,b = – 7, c = 1,d = 6$ Sau đó tính $p = frac{ 7}{2},q = frac{{ – 1}}{2}$ Phương trình đã cho sẽ được biểu diễn theo (4 ) dưới dạng: $ begin{array} {left( {{x^2} – fra c{1}{2}x + frac{5}{2}} right)^2} – {left ( {frac {7}{2}x – frac{1}{2}} right)^2} = 0 \ leftrightarrow left( {{x^2} – frac{1}{2 }x + frac{5}{2} + frac{7}{2}x – frac{1}{2}} right)left( {{x^2} – frac{1}{ 2}x + frac{5}{2} – frac{7}{2}x + frac{1}{2}} right) = 0 \ end{array} $ Khi đó tập nghiệm của phương trình đã cho là: $left{ { – 1; – 2;3;1} to}$4. Biểu đồ. Phương pháp:
Để giải phương trình bậc hai bằng đồ thị ${x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$(1), chúng ta đặt ${x^2} = y – mx$ Phương trình (1) trở thành: ${y^2} – 2mxy + {m^2}{x^2} + axy – ax{m^2} + b{x^2} + cx + d = 0 $ Để loại bỏ các số hạng với $xy$ trong phương trình này, phải có: $ – 2m + a = 0$ và $m = frac{a}{2}$ Vì vậy, nếu chúng ta đặt ${x ^2} = y – mx$ và $m = frac{a}{2}$ tức là ${x^2} = y – frac{a}{2}x$ Khi đó (1) trở thành: ${ y^2} + frac{{{a^2}}}{4}{x^2} – frac{{{a^2}}}{2}{x^2} + b{x^2 } + cx + d = 0$ (2) thay thế ${x^2}$ bằng $y – frac{a}{2}x$ và biến (2) thành ${x^2} + {y ^2} + left( { frac{a}{2} + frac{{{a^3}}}{8} – frac{{ab}}{2} + c} right )x + left( {b – frac {{{a^2}}}{4} – 1} right)y + d = 0$ Vậy phương trình (1) tương đương với hệ phương trình $left { begin {array} y = { x^ 4} + frac{a}{2}x,(3) \ {x^2} + {y^2} + left( {frac{a}{2} + frac{{{ a^ 3}}}{8} – frac{{ab}}{2} + c} right)x + left( {b – frac{{{a)^2} }}{4} – 1} right)y + d = 0,(4) \ end{array} right.$ Do đó, giao điểm của tọa độ parabol hình (3) và đường tròn hình (4) là xác định nghiệm của phương trình (1), nếu đặt $my = {x^2} + frac{a} { 2}x(m ne 0)$ thì nghiệm của phương trình (1) chính là tọa độ giao điểm của hai parabol $y = frac{1}{m}{x^2} + frac {a}{ {2m}}x$ và $x = frac{{{m^2}{y^2}}}{ {frac{{ab}}{2} – frac{{{a^) 3}} }{8} – c}} + frac{{mleft( {b – frac{{{a^ 2}}}{4}} right)y}}{{frac{{ ab}} {2} – frac{{{a^3}}}{3} – c}} + d$Bài tập ứng dụng: Bây giờ chúng ta hãy áp dụng phương pháp trên để giải phương trình bậc hai sau: $begin{array} 1){x^4} + 4{x^3} + 3{x^2} + 2x – 1 = 0, \ 2){x^4} + 2{x^3} + 5 {x^2} + 4x – 12 = 0, \ 3)6{x^4} + 5{x ^3} – 38{x^2} + 5x + 6 = 0, \ 4){x^ 4} + 5{x^3} – 12{x^2} + 5x + 1 = 0, 5){x^4} + 2{x^3} – 2{x^2} + 6x – 15 = 0. \ end{array} $
Nguồn: https://anhvufood.vn
Danh mục: Giáo Dục