Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song – Lý thuyết Toán học 11

Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng\(\left( p \right)\,.\) Dựa vào điểm chung của đường thẳng ta có 3 trường hợp sau đường thẳng và mặt phẳng:

Bạn Đang Xem: Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song – Lý thuyết Toán học 11

A. Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( p \right)\) không có điểm chung, tức là:

\(a \cap \left( p \right) = \emptyset \,\, \leftrightarrow \,\,a\song song \left( p \right ).\)

Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( p \right)\) chỉ có một điểm chung là:

\(a \cap \left( p \right) = a\,\, \leftrightarrow \,\,a\) cắt \(\left( p right)\) tại \(a\,.\)

Đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( p \right)\) có hai điểm chung, đó là:

\(a \cap \left( p \right) = \left\{ {a,\,\,b} \right\}\,\, leftrightarrow \,\,a \tập con \left( p \right)\,.\)

Quy tắc 1: Nếu đường thẳng \(a\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( p \right)\) và song song với đường thẳng (\ left( p \right)\) thì \(a\) song song với \(\left( p \right)\,.\)

Đó là \(a \not\subset \left( p \right)\) thì nếu:

\(a\song song d \tập con \left( p \right) \rightarrow a\song song \left( p \right).\)

Quy tắc 2: Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( p \right)\) thì mọi mặt phẳng \ ( left ( q \right)\) chứa \(a\) cắt \(\left( p \right)\) sẽ cắt dọc theo các đường song song thành \ (a\, .\)

Tức là, nếu \(\left\{ \begin{array}{l}a\parallel \left( p \right)\\a \subset \left( q \right)\,\,\,\,\left[ {\left( q \right) \cap \left( p \right) = d} \right] end{array} \right \rightarrow \,\,a\song song d.\)

Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng trong mặt phẳng.

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng khác nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Đó là: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( p \right) \cap \left( q \right) = d\ \ left( p \ right)\ song song a\\\ left( q \ right)\ song song a \ end{array} \ right. \ rightarrow \,\, d \ song song a.\)

Hệ quả 3: Nếu \(a\) và \(b\) là hai đường chéo thì chỉ có một mặt phẳng song song với \(b\,. )

4. Bài tập chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Xem Thêm: Top 12 bài tả cây ăn quả lớp 4 hay chọn lọc

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) ta chứng minh \(d\) song song với đường thẳng \(d ‘\) nằm trong mặt phẳng của \(\left( \alpha \right)\).

Ví dụ:

Hai hình bình hành \(abcd\) và \(abef\) không nằm trên cùng một mặt phẳng và có tâm là \(o\) và \(o’)) .

a) Chứng minh rằng \(oo’\) song song với mặt phẳng \(\left({adf}\right)\) và \(\left({bce} right) \).

b) Gọi hai điểm \(ae,bd\) thuộc cạnh của \(m,n\) để tạo thành \(am = \frac{1}{3}ae, bn = \frac{1}{3}bd\). Chứng minh rằng \(mn\) song song với \(\left( {cdef} \right)\).

Hướng dẫn:

Xem Thêm : Văn mẫu lớp 9: Cảm nhận về truyện ngắn Lặng lẽ Sa Pa của Nguyễn Thành Long 2 Dàn ý & 8 bài văn mẫu lớp 9 hay nhất

a) Ta có \(oo’\) là đường trung tuyến của tam giác \(bdf\) tương ứng với cạnh \(df\) nên \(oo’\ song song df \), \(df \subset \left( {adf} \right)\)

\( \rightarrow oo’\parallel \left( {adf} \right)\).

Tương tự, \(oo’\) là đường trung tuyến của tam giác \(át\) ứng với cạnh \(ce\) nên \(oo’\song song ce ), \(ce \subset \left( {cbe} \right) \rightarrow oo’\parallel \left( {bce} \right)\).

b) Trong \(\left({abcd} \right)\), gọi \(i = an \cap cd\)

Làm \(ab\song song cd\) nên \(\frac{{an}}{{ai}} = \frac{{bn}}{{bd}} \rightarrow frac{{an}}{{ai}} = \frac{1}{3}\).

Có \(\frac{{am}}{{ae}} = \frac{1}{3} \rightarrow \frac{{an}}{{ai}} = \frac {{am}}{{ae}}\)\( \rightarrow mn\parallel ie\).

Đó \(i \in cd \rightarrow tức là \subset \left( {cdef} \right) \)

\(\rightarrow mn\parallel \left( {cdef} \right)\).

5. Thực hành dựng thiết diện song song với đường thẳng

Xem Thêm: Top 12 bài tả cây ăn quả lớp 4 hay chọn lọc

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa bản dịch và biểu thức thuộc tính hoặc tọa độ.

Trong phần này ta xét mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua các điểm song song với hai đường chéo hoặc \(\left ( \alpha \right) \) chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định loại mặt cắt này ta sử dụng thuộc tính: \(\left\{ \begin{array}{l}\left ( \alpha \phải)\song song d\\ d \tập hợp con \left( \beta \right)\\m \in \left( \alpha \right) \cap left( \beta \right)\ end{array} \right. \)

\(\rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) = d’\song song d,m \in d’ \)

Ví dụ:

Đối với hình chóp \(s.abcd\), \(m\) và \(n\) là hai điểm nằm trên cạnh \(ab\) và \(cd ) ), \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(mn\) và song song với \(sa\).

Xem Thêm: NGỮ VĂN LỚP 11 TÔI YÊU EM – A.Pu-skin (Trang 59 SGK lớp 11 tập 2)

a) Xác định thiết diện của hình chóp \(s.abcd\) khi \(\left( \alpha \right)\ bị cắt.

b) Tìm điều kiện \(mn\) để thiết diện qua trục là hình thang.

Hướng dẫn:

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \left( \alpha \right) \cap \left( {sab} \right)\\\left( \alpha \right)\parallel sa\\sa \subset \left( {sab} \right)\end{array} \ Đúng.\)\( \rightarrow \left( {sab} \right) \cap \left( \alpha \right) = mq\song song sa,q \in sb\ )

Gọi \(i = ac \cap mn\) tại \(\left({abcd} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}i \in mn \subset \left( \alpha \right)\\i \in ac subset \left( {sac} \right)\end{array} \right. \rightarrow i \in \left( \alpha \right) \cap \left({sac } \phải)\)

Vậy \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}i \in \left( {sac} \right) \cap left( \alpha \right)\\\left( \alpha \right)\parallel sa\\sa \subset \left( {sac} \right)\ end{array} \right.\\ \rightarrow \left( {sac} \right) \cap \left( \alpha \right) = ip\parallel sa,p \ in sc\end{array}\)

Từ đây, chúng tôi nhận được \(\left( \alpha \right) \cap \left( {sbc} \right) = pq,\left( \alpha \right) cap \left( {sad} \right) = np\).

là tứ giác \(mnpq\).

b) Khi \(mn\song song pq\) hoặc \(mq\song song np\) thì tứ giác \(mnpq\) là hình thang.

Trường hợp 1:

Nếu \(mq\parallel np\) thì chúng ta có \(\left\{ \begin{array}{l}mq\parallel np\\mq\parallel sa \end{array} \right \rightarrow sa\parallel np\)

Ở đâu \(np \subset \left( {scd} \right) \rightarrow sa\parallel \left( {scd} \right)\) (vô lý).

Xem Thêm : Văn mẫu lớp 6: Ý kiến về vấn đề nên có vật nuôi trong nhà (4 mẫu

Trường hợp 2:

Nếu \(mn\song song pq\) thì ta có các mặt phẳng \(\left( {abcd} \right),\left( \alpha \right),\ left ( {sbc} \right)\) đôi một cắt ba giao điểm \(mn,bc,pq\), nên \(mn\song song bc\).

Đảo ngược nếu \(mn\song song bc\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}mn \subset \left( \alpha \right ) \\bc \subset \left( {sbc} \right)\\pq = \left( \alpha \right) \cap \left( {sbc} \right ) \end{array} \right.\)

\( \rightarrow mn\song song pq\) nên tứ giác \(mnpq\) là hình thang.

Vậy tứ giác \(mnpq\) là hình thang và điều kiện là \(mn\song song bc\).

6. Bài tập

Bài 1:

Cho hình chóp \(s.abcd\). Lần lượt gọi \(m,n\) là trung điểm của \(ab\) và \(bc\); \({g_1},{g_2}\) là tam giác\( sab,sbc\) trọng tâm.

a) chứng minh \(ac\song song \left( {smn} \right)\).

Xem Thêm: Chữ Ký Tên Xuân Đẹp ❤️️ Mẫu Chữ Kí Xuân Phong Thủy

b) \({g_1}{g_2}\parallel \left({sac} \right)\).

c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {abc} \right)\) và \(\left( {b{g_1}{g_2}} \right) ).

Hướng dẫn:

a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}mn\parallel ac\\ac \subset \left( {sac} \right) end{array} \right. \rightarrow mn\parallel \left( {sac} \right)\).

b) \({g_1},{g_2}\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(sab\) và \(sbc\) nên

\(\frac{{s{g_1}}}{{sm}} = \frac{{s{g_2}}}{{sn}} = \frac{2}{3} rightarrow {g_1}{g_2}\song song mn\) trong đó \(mn\song song ac \rightarrow {g_1}{g_2}\song song ac\).

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{g_1}{g_2}\parallel ac\\ac \subset \left( {sac} \right )\end{array} \right \rightarrow {g_1}{g_2}\parallel \left( {sac} \right)\).

c) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}b \in \left( {abc} \right) \cap \left( {b{ g_1}{g_2}} \right)\\nm \subset \left( {abc} \right)\{g_1}{g_2} \subset \left( {bg1{g_2 } } \right)\\mn\parallel {g_1}{g_2}\end{array} \right.\)

\( \rightarrow \left( {abc} \right) \cap \left( {b{g_1}{g_2}} \right) = d\song song mn\song song { g_1}{g_2},\)

\(b \ trong d\).

Bài 2:

Đối với hình chóp \(s.abcd\) đáy \(abcd\) là một tứ giác lồi. Gọi \(o\) là giao điểm của hai đường chéo \(ac\) và \(bd\). Xác định thiết diện hình chóp cắt bởi các mặt phẳng \(o\), song song với \(ab\) và \(sc\).

Hướng dẫn:

gọi \(\left( p \right)\) qua \(o\) và song song với mặt phẳng của \(ab\) và \(sc\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}o \in \left( p \right) \cap \left( {sac} \right) \\sc \subset \left( {sac} \right)\\sc\parallel \left( p \right)\end{array} \right.\)

\( \rightarrow \left( {sac} \right) \cap \left( p \right) = om\song song sc,o \in sa\).

tương tự

\(\left\{ \begin{array}{l}n \in \left( {sab} \right) \cap \left( p \right)\ \ab \subset \left( {sab} \right)\\ab\parallel \left( p \right)\end{array} \right.\)

\( \rightarrow \left( {sab} \right) \cap \left( p \right) = mn\song song ab,n \in sb\).

\(\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {n \in \left( p \right ) \cap \left( {sbc} \right)}\ {sc \subset \left( {sbc} \right)}\\ {sc\song song \left( p \right)} \end{array}} \right.\\ \rightarrow \left( {sbc} \right) \cap \left( p \right) = np Song song sc,p \in bc \end{array}\)

Trong \(\left({abcd}\right)\) gọi \(q = po \cap ad\) thiết diện là tứ giác \(mnpq\).