Lý Thuyết Dấu Của Tam Thức Bậc Hai Và Các Bài Tập Vận Dụng

1. Biểu tượng tam thức bậc hai

1.1. Khái niệm tam thức bậc hai

Bạn Đang Xem: Lý Thuyết Dấu Của Tam Thức Bậc Hai Và Các Bài Tập Vận Dụng

Tam giác bậc hai (đối với biến x) là một biểu thức có dạng: $ax^{2}+bx+c=0$, trong đó a,b,c là các hệ số đã cho, $a\neq 0 $ .

Ví dụ:

f(x)=$x^{2}-4x+5$ là một tam thức bậc hai

f(x)=$x^{2}(2x-7)$ không phải là tam thức bậc hai.

Nghiệm của phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ là nghiệm của tam thức bậc hai; $\delta =b^{2}-4ac$ và $\delta’ =b ‘ ^{2}-ac$ lần lượt là phân thức phân biệt và phân thức rút gọn +c=0$ của tam thức bậc hai $ax^{2}+bx.

1.2. Biểu tượng cho tam thức bậc hai

1.2.1. Định lý về dấu của tam thức bậc hai

Định lý chuyển tiếp:

– Đối với tam giác bậc hai f(x)=$ax^{2}+bx+c=0$ trong đó $a\neq 0$ có $\delta =b^{2}-4ac$

• Nếu $\delta>0$ thì f(x) luôn cùng dấu với a (với mọi $x\epsilon r$)

• Nếu $\delta=0$ thì f(x) có căn kép là x=$-\frac{b}{2a}$

  Khi đó f(x) sẽ có cùng dấu với a (per x$\neq -\frac{b}{2a}$)

  • Nếu <0 thì f(x) có hai nghiệm $x_{1},x_{2}(x_{1}<x_{2})$; f(x) và mọi $ x\in (-\infty ;x_{1})\cup (x_{2};+\infty )$; có cùng dấu khi $x_{1}<x<x_{2}$ , f(x) có dấu ngược lại với a.

    Nhớ gợi ý: khi xét dấu của một tam thức bậc hai có hai nghiệm khác nhau, ta có thể áp dụng quy tắc “trong cùng trái ngoài cùng”, tức là: trong khoảng hai nghiệm thì dấu của f(x) là ngược dấu a nên f(x) cùng dấu với a trừ khoảng hai nghiệm.

    Định lý nghịch đảo cho tam thức bậc hai:

    Đối với tam giác bậc hai: f(x)=$ax^{2}+bx+c=0$, $a\neq 0$. Nếu có một số $\alpha$ thỏa mãn điều kiện: $\alpha. f(\alpha )<0$ Khi đó f(x) sẽ có hai nghiệm khác nhau $x_{1},x_{2}:x_{1}<\alpha <x_{2}$.

    1.2.2. Dấu kiểm cho tam thức bậc hai

    Để kiểm tra dấu của một tam thức bậc hai, ta làm theo các bước sau:

    Bước đầu tiên: Tính $\delta $, tìm nghiệm của tam thức bậc hai (nhấn nút).

    Bước 2: Lập bảng xét các ký hiệu theo hệ số a.

    Bước 3: Xét kí hiệu của tam thức bậc hai và rút ra kết luận.

    Xem Thêm: Phân tích bài thơ Câu cá mùa thu (Thu điếu) – Văn mẫu lớp 11

    Các ký hiệu của tam giác bậc hai được hiển thị trong bảng bên dưới:

    

    1.3. Ứng dụng của kí hiệu tam thức bậc hai

    Nhận xét: Trong cả hai trường hợp a>0 và a<0 thì:

    • $\delta >0$, f(x) có cả quả tích cực và tiêu cực.

    • $\delta \leq 0$, f(x) chỉ có một loại dâu tằm âm dương.

      Vì vậy, chúng ta có bài toán sau: lượng giác bậc hai: $ax^{2}+bx+c=0$ và $a\neq 0$:

      Xem Thêm : Hướng dẫn cảm thụ văn học bài Bận – Tiếng việt 3. – Hoc360.net

      

      2. Thực hành ký hiệu tam giác phụ cấp độ 10

      2.1. Bài tập ứng dụng và lời giải

      Bài 1: Xét tam thức bậc hai sau: f(x)=$3x^{2}+2x-5$

      Giải pháp:

      f(x)=$3x^{2}+2x-5$

      Ta có: $\delta =b^{2}-4ac=27>0$

      Phương trình f(x)=0 có hai nghiệm khác nhau $x_{1},x_{2}$ trong đó $x_{1}=\frac{-5}{3}, x_{2} = 1 $

      Chúng ta có một bảng đánh dấu:

      

      Kết luận:

      f(x)<0 khi $x\in (-\frac{5}{3};1)$

      f(x) >0 khi $x\in (-\infty ;-\frac{5}{3})\cup (1;+\infty )$

      Bài 2: Xét biểu thức sau: f(x)=$\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-1}$

      Giải pháp: Ta xem xét: $x^{2}+2x+1=0$ x=-1 (a>0)

      $x^{2}-1=0$ > x=-1 hoặc x=1 (a>0)

      Xem Thêm: Giao thừa năm 2022 – Nhâm Dần vào ngày nào ?

      Xem Thêm : Sự tích Quan âm Thị Kính

      Bảng chấm điểm:

      

      Kết luận: f(x)>0 khi $x\in (-\infty ;-1)\cup (1;+\infty )$

      f(x)<0 dưới dạng $x\in (-1;1)$

      Bài 3: Giải các bất phương trình sau:

      a, $-3x^{2}+7x-4<0$

      b, $\frac{10-x}{5+x^{2}}>\frac{1}{2}$

      c, $\frac{1}{1+x}+\frac{2}{x+3}<\frac{3}{x+2}$

      Hướng dẫn: Để giải các bất phương trình hữu tỷ ta cần biến đổi (rút gọn, rút ​​gọn) để được một bất phương trình là tích hoặc thương của một nhị thức bậc nhất và một tam thức bậc hai. Sau đó, chúng tôi lập bảng ký hiệu và kết luận.

      Giải pháp:

      a, đặt f(x)= $-3x^{2}+7x-4$

      $-3x^{2}+7x-4=0$ $x=1$ hoặc $x=\frac{4}{3}$

      Xem Thêm: Giao thừa năm 2022 – Nhâm Dần vào ngày nào ?

      Xem Thêm : Sự tích Quan âm Thị Kính

      Bảng chấm điểm:

      

      Vậy tập nghiệm của bất phương trình là s=$(-\infty ;1)\cup (\frac{4}{3};+\infty )$

      b, $\frac{10-x}{5+x^{2}}>\frac{1}{2}$

      $\leftrightarrow \frac{10-x}{5+x^{2}}-\frac{1}{2}>0$ $\leftrightarrow \frac{-x^{ 2 }-2x+15}{2(x^{2}+5)}>0$

      ; f(x)>0

      Lập bảng xét dấu vế trái của bất đẳng thức, ta được:

      Xem Thêm: Biệt danh hay cho con gái &quotcute phô mai que&quot ai nghe cũng tan chảy!

      

      Vậy tập nghiệm của bất phương trình là n=(-5;3)

      c, $\frac{1}{1+x}+\frac{2}{x+3}<\frac{3}{x+2}$

      $\frac{-x+1}{(x+3)(x+2)(x+1)}<0$

      ; f(x)<0

      Lập bảng xét dấu vế trái của bất đẳng thức, ta được:

      

      Vậy tập nghiệm của bất phương trình là t=$(-\infty ;-3)\cup (-2;-1)\cup (1;+\infty )$

      2.2. Bài tập tự luyện

      Bài toán 1: Tìm m sao cho các bất phương trình sau vô nghiệm:

      1.$5x^{2}-x+m\leq 0$

      2.$(m-1)x^{2}-(2m-1)x>m-3$

      3.$x^{2}-2mx+m+12<0$

      4.$x^{2}+3mx-9<0$

      5.$x^{2}+3x-9m\leq 0$

      Bài toán 2: Tìm m sao cho bất phương trình sau có duy nhất một nghiệm:

      1.$-2x^{2}-mx+m^{2}-1\geq 0$

      2.$(m-1)x^{2}-(2m-1)x>-m-3$

      3.$2mx^{2}+x-3\geq 0$

      Bài viết trên tổng hợp toàn bộ lý thuyết và bài tập về kí hiệu tam thức bậc hai. Hi vọng các bạn đã có thêm nguồn tham khảo hữu ích để tự tin vượt qua các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi quốc gia. Đừng quên truy cập vuihoc.vn và đăng ký các khóa học để học hỏi thêm nhiều kiến ​​thức bổ ích nhé!