Bài 7: Công thức xác suất đầy đủ và Bayes

Với không gian mẫu (omega ) và a1, a2, ….an, b là các biến cố.

Bạn Đang Xem: Bài 7: Công thức xác suất đầy đủ và Bayes

Nếu các biến cố a1, a2 và an thỏa mãn hai điều kiện thì chúng được gọi là một tập hợp đầy đủ các biến cố:

• ({a_1} cup {a_2} cup … cup {a_n} = omega )
• ({a_i} cap {a_j} = emptyset ) cho mọi (i ne j) và (i,,j in left{ {1,2,… ,n} right})

Khi đó ta có:

(p(b) = sumlimits_{i = 1}^n {p({a_i})} p(b/{a_i})) (1,22)

Xác suất p(a1); p(a2); .

Chứng nhận:

Ta có: (b = bomega = b({a_1} cup {a_2} cup …. cup {a_n}) = (b{a_1}) cup (b{a_2} ) ) cup …. cup (b{a_n}))

Từ đó: (p(b) = pleft( {(b{a_1}) cup (b{a_2}) cup …. cup (b{a_n})} right) ))

Do biến cố a1, a2. . . . , an không tương thích nên các biến cố a1b; a2b;…; anb cũng không tương thích. Áp dụng công thức cộng xác suất, ta có: (p(b) = sumlimits_{i = 1}^n {p({a_i}.b)} )

Theo công thức nhân xác suất, ta có: (p(a_i.b)=p(a_i.p(b/a_i))

Vậy: (p(b) = sumlimits_{i = 1}^n {p({a_i})} p(b/{a_i}))

Xem Thêm: Nhiễu điều phủ lấy giá gương – Ý nghĩa sâu sắc của người Việt

Ví dụ: Có 3 lô sản phẩm, tỷ lệ lỗi của mỗi lô là: 6%; 2%; lô đầu tiên %. Chọn ngẫu nhiên một lô, sau đó chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô đã chọn. Tìm xác suất lấy được phế liệu?

Giải pháp: Gọi b để nhận sự kiện mẩu tin lưu niệm. a1, a2, a3 lần lượt là các biến cố của lô sản phẩm thứ nhất, lô thứ hai và lô sản phẩm thứ ba. Các biến cố a1, a2, a3 là một tập hợp đầy đủ các biến cố. Áp dụng công thức tổng xác suất của chúng tôi:

p(b) = p(a1)p(b/a1) + p(a2)p(b/a2) + p(a3)p(b/a3)

Xem Thêm : Câu cảm thán là gì? Đặc điểm, chức năng và ví dụ minh họa?

p(a1) = p(a2) = p(a3) = (frac{1}{3})

p(b/a1) = 0,06; p(b/a2) = 0,02; p(b/a3) = 0,01

Vậy: p(b) = (frac{1}{3}) (0,06 + 0,02 + 0,01) = 0,03

Theo các giả định tương tự như trong phần công thức xác suất đầy đủ, chúng tôi thêm một điều kiện là thử nghiệm đã được thực hiện và sự kiện b đã xảy ra. Sau đó:

(p({a_i}/b) = frac{{p({a_i})p(b/{a_i})}}{{sumlimits_{i = 1}^n {p( {a_i})p(b/{a_i})}}})

((forall i = 1,2,….,n))

Bằng chứng: Nhân xác suất chúng ta có với công thức:

p(a1 b) = p(a1) p(b/ai) = p(b)p(ai/b)

Xem Thêm: Văn mẫu lớp 7: Cảm nghĩ về món quà mà em được nhận thời thơ ấu

(rightarrow p({a_i}/b) = frac{{p({a_i})p(b/{a_i})}}{{p(b)}})

Theo công thức xác suất tổng ta có: (p(b) = sumlimits_{i = 1}^n {p({a_i})} p(b/{a_i}))

Vì vậy:

(p({a_i}/b) = frac{{p({a_i})p(b/{a_i})}}{{sumlimits_{i = 1}^n {p( {a_i})p(b/{a_i})}}},,(i = 1,2,….,n))

Xác suất p(ai/b) được xác định sau khi xảy ra các kết quả thực nghiệm đã biết và do đó thường được gọi là xác suất hậu nghiệm. Do đó, công thức Bayesian cho phép chúng ta xác định lại xác suất trước đó p(ai), với thông tin bổ sung về b xảy ra khi thí nghiệm được thực hiện.

Ví dụ: Một hộp gồm 5 sản phẩm hoàn toàn không rõ chất lượng. Một sản phẩm không thể hoàn trả ngẫu nhiên từ hộp là một sản phẩm tốt. Sau đó chọn ngẫu nhiên một sản phẩm trong hộp. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra khỏi hộp lần thứ hai là sản phẩm tốt?

Cách giải: Gọi a0, a1, . . ., a5 lần lượt là các biến cố trong ô 0, 1. . . , 5 sản phẩm tốt. Ta thấy rằng các biến cố: a0, a1, .., a5 là một tập hợp đầy đủ và xung khắc với nhau. Vì ta không biết chất lượng của sản phẩm trong hộp nên ta có thể coi các biến cố a0, a1, …, a5 có khả năng xảy ra như nhau.

Xem Thêm : Hướng dẫn Giải bài 54 55 56 57 58 trang 30 sgk Toán 7 tập 1

Đó là: (p({a_0}) = p({a_1}) = … = p({a_5}) = frac{1}{6})

b là biến cố đầu tiên sản phẩm lấy ra khỏi hộp là sản phẩm tốt.

Sử dụng công thức xác suất tổng, ta có:

(p(b) = sumlimits_{i = 0}^5 {p({a_i})} p(b/{a_i}) ​​= frac{1}{6}left ( { { 0 + frac{1}{5} + frac{2}{5} + frac{3}{5} + frac{4}{5} + 1} right) = 0,5)

Xem Thêm: Văn mẫu lớp 12: Tổng hợp mở bài về tác phẩm Chiếc thuyền ngoài xa (62 mẫu) Mở bài Chiếc thuyền ngoài xa

Giả sử b đã xảy ra. Vì vậy, chúng ta có thể áp dụng công thức Bayes. Sau đó:

(p({a_0}/b) = frac{{p({a_0})p(b/{a_0})}}{{p(b)}} = 0)

Vì điều kiện a0 xảy ra tức là trong hộp không có sản phẩm tốt nên biến cố b (lấy được sản phẩm tốt) trở thành biến cố không thể xảy ra. Vậy p(b/a0) = 0 ⇒ p(a0/b) = 0

(p({a_1}/b) = frac{{p({a_1})p(b/{a_1})}}{{p(b)}} = frac{{frac{ 1}{6}.frac{1}{5}}}{{0,5}} = frac{1}{{15}})

(p({a_2}/b) = frac{{p({a_2})p(b/{a_2})}}{{p(b)}} = frac{{frac{ 1}{6}.frac{2}{5}}}{{0,5}} = frac{2}{{15}})

Tính độ tương tự, ta có:

(p({a_3}/b) = frac{3}{{15}};,,,,,,,,,p({a_4}/b ) = frac{4}{{15}};,,,,,,,,p({a_5}/b) = frac{5}{{15}})

Hãy để c là sự kiện tiếp theo để có được một sản phẩm tốt. Áp dụng công thức tổng xác suất của chúng tôi:

(p(c) = p({a_1}/b)p(c/{a_1}b) + p({a_2}/b)p(c/{a_2}b) + … + p({a_5}/b)p(c/{a_5}b))

(= frac{1}{{15}}.0 + frac{2}{{15}}.frac{1}{4} + frac{3}{{15}}) .frac{2}{4} + frac{4}{{15}}.frac{3}{4} + frac{5}{{15}}.1 = frac{2}{3 } )

Trong ví dụ này, các xác suất cho trước là p(a0); p(a1);…;p(a5) và đều bằng (frac{1}{6}). Nhưng sau khi lấy sản phẩm ra khỏi hộp và lấy thông tin để có được sản phẩm tốt thì các xác suất biết trước này sẽ thay đổi theo cách tính theo công thức Bayes ở trên. p(a0/b); p(a1/b); . . . ; p(a5/b) là xác suất hậu nghiệm.