Giải bài 39, 40, 41 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao

bài 39 trang 109 SGK Hình học nâng cao

Bạn Đang Xem: Giải bài 39, 40, 41 trang 109 SGK Hình học 10 Nâng cao

Viết phương trình chính tắc cho hyperbola(h) trong mỗi trường hợp sau

a) Tiêu điểm của (h) là (5, 0) và độ dài trục thực là 8;

b) (h) có tiêu cự \(2\sqrt 3 \) và tiệm cận \(y = {2 \over 3}x;\)

c) (h) với độ lệch tâm \(e = \sqrt 5 \) và qua điểm \((\sqrt {10} ;6).\)

NGƯỜI CHIẾN THẮNG

a) Ta có: \(c = 5,a = 4 \rightarrow {b^2} = {c^2} – {a^2} = 9 \rightarrow b = 3\)

Vậy (h) có phương trình: \({{{x^2}} \trên {16}} – {{{y^2}} \trên 9} = 1.\)

b) Ta có: \(c = \sqrt 3 ;{b \over a} = {2 \over 3} \rightarrow b = {{2a} \over 3}\)

\({c^2} = {a^2} + {b^2} = 3 \rightarrow {a^2} + {{4{a^2}} \hơn 9} = 3 \)

Xem Thêm: Cảm nhận về nhân vật Mị trong tác phẩm Vợ chồng A Phủ của Tô

\(\rightarrow {a^2} = {{27} \over {13}};{b^2} = 3 – {{27} \over {13}} = {{12 } \vượt quá {13}}.\)

Vậy (h) có phương trình: \({{{x^2}} \over {{{27} \over {13}}}} – {{{y^2}} Nhiều hơn {{{12} \ hơn {13}}}} = 1.\)

c) Ta có: \(e = {c \over a} = \sqrt 5 \rightarrow {c^2} = 5{a^2} \rightarrow {b^2} = 4 {a^2}\,\,\,\,\,(1)\)

Xem Thêm : Anh chị hiểu như thế nào về câu thơ gió theo lối gió mây đường mây?

Giả định: \((h):{{{x^2}} \over {{a^2}}} – {{{y^2}} \over {{b^2} } } = 1\)

Bởi vì \(m\left( {\sqrt {10} ;6} \right) \in (h)\) Vì vậy: \({{10} \over {{a ) ^2}}} – {{36} \over {{b^2}}} = 1 \leftrightarrow 10{b^2} – 36{a^2} = {a^2}{b^2 } \,\,\,(2)\)

Thay (1) vào (2) ta được: \(40{a^2} – 36{a^2} = {a^2}\left( {4{a^2}} \ Đúng)\rightarrow {a^2} = 1;{b^2} = 4\)

Vậy (h) có phương trình: \({{{x^2}} \trên 1} – {{{y^2}} \trên 4} = 1.\)

bài 40 trang 109 SGK Hình học nâng cao

Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên một hyperbol đến hai đường tiệm cận của nó là không đổi.

NGƯỜI CHIẾN THẮNG

Giả sử (h) có phương trình chính tắc: \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over { {b ^ 2}}} = 1\)

Xem Thêm: Điển cố là gì? Điển tích là gì? Đặc điểm, ý nghĩa và ví dụ

Phương trình tiệm cận của (h) là: \({d_1}:y = {b \over a}x \leftrightarrow bx – ay = 0\)

\({d_2}:y = – {b \over a}x \leftrightarrow bx + ay = 0\)

Gọi \(m\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (h)\) ta được: \({{x_0^2} \over { {a^2}}} – {{y_0^2} \over {{b^2}}} = 1 \leftrightarrow {b^2}x_0^2 – {a^2}y_0^2 = {a ^2}{b^2}\)

Ta có: \(d\left( {m,{d_1}} \right).d\left( {m,{d_2}} \right) = {{|b{x_0} – a{y_0}|} \ qua {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.{{|b{x_0} + a{y_0}|} \ qua {\ căn bậc hai {{a^2} + {b^2}} }} \)

\(= {{|{b^2}x_0^2 – {a^2}y_0^2|} \ trên {{a^2} + {b^2}}} = {{{ a^2}{b^2}} \hơn {{a^2} + {b^2}}}\) không thay đổi

bài 41 trang 109 SGK Hình học nâng cao

Xem Thêm : Bài tập 44,45,46 ,47,48,49 ,50,51,52 ,53 trang 43 SGK Toán lớp 7

Trong mặt phẳng tọa độ của hai điểm\({f_1}\left( { – \sqrt 2 ; – \sqrt 2 } \right);\,{f_2}\ left ( {\sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right).\) chứng minh rằng với mỗi điểm m(x, y) nằm trên đồ thị của hàm số \(y = {1 \trên x) }, \) Tất cả chúng ta đều có

\(m{f_1}^2 = {\left( {x + {1 \over x} + \sqrt 2 } \right)^2};m{f_2}^ 2 = {\left( {x + {1 \over x} – \sqrt 2 } \right)^2}.\)

Từ \(|m{f_1} – m{f_2}| = 2\sqrt 2 .\)

NGƯỜI CHIẾN THẮNG

Xem Thêm: Bảng chữ cái Katakana đầy đủ – Hướng dẫn cách đọc chi tiết nhất cho người mới

Giả định: \(m\left( {x;y} \right) \in \left( h \right):\,y = {1 \over x}\ ) Chúng tôi có:

\(\eqalign{ & m{f_1^2} = {\left( {x + \sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {{1 \ tại x} + \sqrt 2 } \right)^2} \cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\, = {x^2} + 2\sqrt 2 .x + 2 + {1 \over {{x^2}}} + 2\sqrt 2 .{1 \over x} + 2 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{ x^2} + {1 \over {{x^2}}} + 2} \right) + 2\sqrt 2 \left( {x + {1 \over x}} \right) + 2 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( { {x^2} + {1 \over x}} \right)^2} + 2\left( {x + {1 \over x}} \right).\sqrt 2 + { left( {\sqrt 2 } \right)^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\ ,\,\, = {\left( {x + {1 \over x} + \sqrt 2 } \right)^2} \cr & m{f_2}^2 = { left( {x – \sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {{1 \over x} – \sqrt 2 } \right)^2} \cr& ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;= {\left( {x + {1 over x}} \right)^2} – 2\sqrt 2 \left( {x + {1 \over x}} \right) + 2 \cr & \,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {x + {1 \at x} – \sqrt 2 } \right)^2} \cr} \)

Từ:

+) x > 0 then \(x + {1 \over x} \ge 2\) (theo bất đẳng thức cosi)

Sau đó: \(m{f_1} = x + {1 \over x} + \sqrt 2 ;m{f_2} = x + {1 \over x} – \sqrt 2 \ )

\(\rightarrow m{f_1} – m{f_2} = 2\sqrt 2 .\)

+) với x <; 0 thì \(\left| {x + {1 \over x}} \right| = |x| + {1 \over {|x|}} ge 2 \rightarrow x + { 1 \over x} \le – 2\)

Khi đó: \(m{f_1} = – x – {1 \over x} – \sqrt 2 ;m{f_2} = – x – {1 \over x} + \sqrt 2 )

\( \rightarrow m{f_1} – m{f_2} = – 2\sqrt 2 \)

Vậy \(|m{f_1} – m{f_2}| = 2\sqrt 2 .\)

giaibaitap.me